Интегралы Стилтьеса
Определение 1
Пусть на [a,b] определены f(x) и (х). Функция
f интегрируема по на [a,b] по Риману-Стилтьесу (Мак-Шейну-Стилтьесу,
Курцвейлю-Хенстоку-Стилтьесу) и I – ее интеграл, если 
: 
, где 
.
Функциям f и сопоставляется
функция на (T,): 
.
Интеграл Риману-Стилтьеса – предел по базе Римана (интеграл Мак-Шейна-Стилтьеса – предел по базе Мак-Шейна, интеграл Курцвейля-Хенстока-Стилтьеса – предел по базе Курцвейля-Хенстока).
Простейшие свойства
1. Если интеграл , то он единственный.
2.
Если функция интегрируема по Риману-Стилтьесу или по Мак-Шейну-Стилтьесу, то и
по Курцвейлю-Хенстоку-Стилтьесу и 
.
3. (Линейность интеграла по функциям)
Если
, то в том же смысле 
и 
, равные 
.
Если и 
, то в том же смысле 
.
Если и 
, то в том же смысле 
.
Критерий Коши интегрируемости
Пусть
на [a,b] определены f(x) и (х). Функция f(x) интегрируема по
на [a,b] по Риману-Стилтьесу (Мак-Шейну-Стилтьесу, Курцвейлю-Хенстоку-Стилтьесу)
:
.