Теорема
Если f определена, ограничена и интегрируема на [a,b] (по
Риману, Мак-Шейну, Курцвейлю-Хенстоку), то ее интеграл с переменным верхним
пределом 
.
Доказательство.
Интегрируя
неравенство, получим 
, т.е. 
что и требовалось доказать.
Следствие 2
Интеграл Римана с переменным верхним пределом есть непрерывная функция.
Теорема 3
Если f определена и интегрируема на [a,b] (по Риману, Мак-Шейну,
Курцвейлю-Хенстоку), а F – ее неопределенный интеграл, то в точке
х0 непрерывности f имеем: 
.
Доказательство
Пусть 
. Интегрируя неравенство, имеем: 
, а после интегрирования: 
.
Т.к. f непрерывна в точке 
взяв |х|<, имеем 
что и требовалось доказать.
Следствие 3
Если f интегрируема по Риману на [a,b], то ее неопределенный
интеграл F почти всюду дифференцируем на [a,b], и почти всюду на [a,b] 
.
Следствие 4
Если f непрерывна на промежутке I, то она имеет на I точную
первообразную. В качестве первообразной можно взять интеграл с переменным
верхним пределом 
.
Следствие 5
Если f определена на промежутке I и непрерывна на I всюду,
кроме конечного числа точек, то f имеет на I обобщенную первообразную, в качестве
которой можно взять интеграл с переменным верхним пределом 
.