Интегральное исчисление Курс лекций

Теорема

Если f определена и равна нулю почти всюду на [a,b], то f интегрируема по Мак-Шейну на [a,b] и .

Доказательство

Возьмем >0. Для  kN пусть ,  Найдем систему интервалов  покрывающую Еk и  Если f(x)=0, то (х)=1. Если хЕk, то найдем интервал хlk и положим (х): . Возьмем  отмеченное разбиение (T,), согласованное с (х) (т.е.  .

Следствие 1

Если f(x) и g(x) определены на [a,b] и f(x)=g(x) почти всюду на [a,b], то f(x) и g(x) одновременно интегрируемы или неинтегрируемы по Мак-Шейну (по Курцвейлю-Хенстоку), и если они интегрируемы, то .

Определение 1

Пусть f определена на [a,b] почти всюду. f интегрируема по Мак-Шейну (по Курцвейлю-Хенстоку) на [a,b], если при каком-то (т.е. при ) доопределении f на [a,b] она будт интегрируема по Мак-Шейну (по Курцвейлю-Хенстоку) и интеграл от f по [a,b] есть интеграл по [a,b] от доопределенной функции.

Определение 2

Считаем, что  (по Риману, Мак-Шейну, Курцвейлю-Хенстоку) и   (по Риману, Мак-Шейну, Курцвейлю-Хенстоку).

Замечание: из аддитивности интегралов по отрезку следует, что если из трех интегралов  два  (в одном смысле), то  и третий (в том же смысле) и

Определение 3

Если f интегрируема на [a,b], то f интегрируема на  подотрезке [a,b], и следовательно можно ввести , где х0[a,b] – фиксируема, а х[a,b] – переменна  – интеграл с переменным верхним пределом или неопределенный интеграл Римана, Мак-Шейна или Курцвейля-Хенстока.

Определение 4

Функция f из класса Липщица (Гельдера) на множестве Е, если f определена на Е и . Если , f непрерывна на Е.