Теорема
Пусть f определена, ограничена и измерима на [a,b], тогда f интегрируема на [a,b] по Мак-Шейну.
Доказательство
Возьмем произвольное >0. Найдем такую непрерывную
функцию g на [a,b]: 
. Можно
считать, что 
, иначе перейдем от g(x) к 
,
где 
. Это будет непрерывная на [a,b] функция,
. Если х: |g(x)|<S, то в некоторой окрестности
|g(x)|<S в этой окрестности 
и непрерывность в точке х сохраняется. Если
х: |g(x)|>S, то в некоторой окрестности |g(x)|>S в этой окрестности
– постоянна и непрерывна в
точке х. Если х: |g(x)|= S, то 
.
Функция g интегрируема по Мак-Шейну 
. Найдем систему интервалов {li}, не более чем счетную,
которая покрывает 
. Если в точке х[a,b] f(x)=g(x), то положим 
.
Если в точке х[a,b] f(x)g(x), то найдем хli
и возьмем 
. Так определим функцию 
на [a,b]. Пусть (T,) отмеченное разбиение согласованное с
. Тогда имеем оценку: 
.
Имеем, что 
– отмеченных разбиений [a,b] согласованных
с 
, т.е. выполнен критерий Коши интегрируемоти.
Следствие 1
Если f определена, ограничена и совпадает с некоторой непрерывной на [a,b] функцией почти всюду, то она интегрируема по Мак-Шейну.