Если f непрерывна на замкнутом множестве FR, то ее можно доопределить на R\F так, что полученная функция будет непрерывна на R..
Доказательство
Пусть G= R\F – открыое множество, 
, где li – попарно пересекающиеся интервалы с концами,
не входящими в G. Пусть (i, i)= li – конечный интервал,
f определена в точках iи i , доопределим
f на [i, i] линейно. Если (i,
i) – интервал, один из концов которого бесконечен, то доопределим f на его
значение в другом конце.
f непрерывна, т.к. на G доопределенная f непрерывна и докажем,
что 
, где f доопределена на
G.
1) Если х не является предельной точкой множества 
некотрый интервал (х,х+) не
пересекается с F, т.е. (х,х+)G, т.е. х–левый конец одного
из интервалов (i, i), на котором f линейна 
.
2) Если х – предельная точка множества
а)
б) Т.к. 
найдем 
( т.к. если 
), т.е. 
.
Докажем вторую часть Теоремы 1
: f непрерывна
на [a,b]. система интервалов {li} покрывающая Е, 
. Пусть – открытое множество, GЕ, f непрерывна
на [a,b]\G. Т.к. [a,b]\G=[a,b](R\G) – замкнутое множество,
доопределим f на [a,b]\G на R так, что получится непрерывная на R функция
g 
f(x)g(x)}<
. Что и требовалось доказать.
Следствие 1
Если f совпадает почти всюду с непрерывной на [a,b] функцией, то f измерима на [a,b].
Следствие 2
Если f непрерывна почти всюду на [a,b], то f измерима на [a,b].