Интегральное исчисление Курс лекций

Следствие 1

Невырожденный отрезок не является множеством меры 0 по Лебегу.

Определение 2

Определенная почти всюду на [a,b] функция f измерима на [a,b], если .

Определение 3

Функция f измерима на [a,b], если f определена почти всюду на [a,b] и : f непрерывна на [a,b]\Е.

Теорема 1

Определения измеримости 2 и 3 эквивалентны.

Доказательство

1) Докажем, что из определения 2 следует определение 3.

Пусть , g непрерывна на [a,b], а значит и на [a,b]\Е.

Докажем две вспомогательные леммы.

Лемма 2

Пусть G – открытое множество на R , где li – попарно непересекающиеся интервалы (1 или 2 могут иметь ), число интервалов li конечно или счетно.

Доказательство

Для  хG пусть . Интервал  . Т.к. если . Аналогично, если x<z<, то zG. Если   – противоречие с определением .

. Такие интервалы для двух различных точек х1, х2 или совпадают или не пересекаются. Если (1,1), (2, 2)

указанные интервалы для  точек соответственно, то т.к. 1G имеем: 12 или 1 2, 12 или 1 2 (т.к. 1G).

12, 1 2 – интервалы не пересекаются.

1 2, 12 – противоречие, т.к. 2 2 

12, 1 2 – противоречие, т.к. иначе если 12 или 1 2, то один из концов (2, 2) входит в (1,1)G

1 2, 1 2 – интервалы не пересекаются.