Интегральное исчисление Курс лекций

Определение 1

Верхняя мера Лебега множества ЕR – это величина , где {li}i – система интервалов.

Замечание: если вместо систем интервалов брать системы отрезков, то будет эквивалентное определение.

1)

2) Если система{i} покрывает Е

покрывает Е и  что и требовалось доказать.

Свойства верхней меры:

1. Если .

2. Если .

Возьмем >0 и для  j  {lji}i – система покрывающая Еj и  покрывает  .

Лемма 1

С одной стороны .

Пусть система интервалов {li} покрывает [a,b]. Выделим из него конечное подпокрытие, а из него выделим конечное минимальное подпокрытие из интервалов . Занумеруем левые концы  в порядке их возрастания . Пусть k – правый конец отрезка с левым концом k.  (если , то точку b покрывает (i,i) с j<n и тогда он содержит (n,n))  b–a=   имеем  , т.е. имеет место равенство.

.

По свойству 1: .