Дополнительные свойства интеграла Римана
Определение 1
R[a,b] – множество интегрируемых по Риману функций на [a,b]. Аналогично для интегралов Мак-Шейна и Курцвейля-Хенстока.
1. Если f,g R[a,b], то fg R[a,b].
Следует из критерия Лебега.
2. Если f R[a,b], C[,], где
.
Аналогично.
3. Если f R[a,b] изменить в конечном числе точек, то полученная функция
.
Докажем равенство. Разность двух функций отлична в конечном числе точек. Пусть это число k отмеченное разбиение
![]()
. Если
.
.
что и требовалось доказать.
4. Если f R[a,b], то |f| R[a,b] и
.
Докажем неравенство.
![]()
.
5. Если f R[a,b], f неотрицательна на [a,b] и точка непрерывности х:
.
Докажем это свойство.
.
Пусть
. Так как
.
Следствие 5 (из пункта 5)
Если f R[a,b] и f неотрицательна на [a,b] и
почти всюду на [a,b] .
Геометрическое изображение комплексного числа z = x + iy. Выберем декартову прямоугольную систему координат. По оси абцисс отложим вещественную часть числа х, по оси ординат отложим мнимую часть числа у, получим на плоскости точку z с координатами ( х,у ) Ось ох называется вещественной осью Ось оу называется мнимой осью. Вся плоскость хоу называется плоскостью комплексного переменного.
|