Интегральное исчисление Курс лекций

Дополнительные свойства интеграла Римана

Определение 1

R[a,b] – множество интегрируемых по Риману функций на [a,b]. Аналогично для интегралов Мак-Шейна и Курцвейля-Хенстока.

1. Если f,g  R[a,b], то fg R[a,b].

Следует из критерия Лебега.

2. Если f  R[a,b],   C[,], где .

Аналогично.

3. Если f  R[a,b] изменить в конечном числе точек, то полученная функция .

Докажем равенство. Разность двух функций отлична в конечном числе точек. Пусть это число k   отмеченное разбиение  

. Если . .  что и требовалось доказать.

4. Если f  R[a,b], то |f|  R[a,b] и .

Докажем неравенство.  .

5. Если f  R[a,b], f неотрицательна на [a,b] и  точка непрерывности х:.

Докажем это свойство. .

Пусть . Так как .

Следствие 5 (из пункта 5)

Если f  R[a,b] и f неотрицательна на [a,b] и  почти всюду на [a,b] .

Геометрическое изображение комплексного числа z = x + iy. Выберем декартову прямоугольную систему координат. По оси абцисс отложим вещественную часть числа х, по оси ординат отложим мнимую часть числа у, получим на плоскости точку z с координатами ( х,у ) Ось ох называется вещественной осью Ось оу называется мнимой осью. Вся плоскость хоу называется плоскостью комплексного переменного.