Дополнительные свойства интеграла Римана
Определение 1
R[a,b] – множество интегрируемых по Риману функций на [a,b]. Аналогично для интегралов Мак-Шейна и Курцвейля-Хенстока.
1. Если f,g R[a,b], то fg R[a,b].
Следует из критерия Лебега.
2.
Если f R[a,b], C[,], где 
.
Аналогично.
3.
Если f R[a,b] изменить в конечном числе точек, то полученная функция
.
Докажем
равенство. Разность двух функций отлична в конечном числе точек. Пусть это число
k отмеченное разбиение 
.
Если 
. 
. 
что и требовалось доказать.
4.
Если f R[a,b], то |f| R[a,b] и 
.
Докажем неравенство.
.
5. Если f R[a,b], f неотрицательна
на [a,b] и точка непрерывности х:
.
Докажем
это свойство. 
.
Пусть 
. Так как 
.
Следствие 5 (из пункта 5)
Если
f R[a,b] и f неотрицательна на [a,b] и 
почти всюду на [a,b] .