Интегральное исчисление Курс лекций

Теорема 1

Если f интегрируема по Риману на [a,b], то f ограничена на [a,b] и непрерывна почти всюду на [a,b].

Доказательство

Возьмем  >0 и для  jN найдем разбиение Tj отрезка [a,b]:  – из Л1 и Л2. Выберем те отрезки разбиения . Для  . Покажем, что если х не принадлежит выбранным отрезкам, то это точка непрерывности, т.е. .

Найдем . Из-за того, что х не принадлежит выбранным отрезкам ji, то один или два отрезкаji содержащие точку х имеют

 этим отрезкам и .

Следствие 1 (критерий Лебега интегрируемости по Риману)

Определенная на [a,b] функция f интегрируема по Риману на [a,b]  она ограничена и непрерывна почти всюду на [a,b] .

Следствие 2

Если f интегрируема по Риману на [a,b]  f интегрируема на [a,b] по Мак-Шейну и эти два интегралы равны.