Определение 1
Разбиение отрезка [a,b] – это конечный набор точек 
, занумерованных в порядке возрастания,
причем a0=a, b0=b.
Отрезки 
, i=1..n – отрезки разбиения.
Отмеченное разбиение (разбиение с отмеченными точками) –
это (T,), где – разбиение [a,b], а 
– набор точек из [a,b].
Интегральная сумма (сумма Римана), соответствующая определенной
на [a,b] функции f и отмеченному разбиению (T,) – это сумма
, где |i|=ai-ai-1.
Определение 2
Функция f интегрируема по Риману на [a,b] и I – её интеграл
по [a,b], если f определена на [a,b] и 
и для отмеченных разбиений (T,)
с 
для i: 
.
Обычно пишут: 
.
Определение 3
Функция f интегрируема по Мак-Шейну на [a,b] и I – её интеграл
по [a,b], если f определена на [a,b] и 
на [a,b], и для отмеченных разбиений (T,)
с 
для i: .