Интегральное исчисление Курс лекций

Интегральная сумма (сумма Римана)

База интеграла Римана

Основная теорема Лемма

Критерий Коши

Необходимое условие интегрируемости по Риману Здание школы танцев Парижской оперы

Аддитивность интеграла по отрезку Докажем теперь теорему для случая интегралов Мак-Шейна и Курцвейля-Хенстока.

Пусть f определена на [a,b], FC[a,b] и F’(x)=f(x) для  x [a,b], кроме не более чем счетного множества (в точках которых F не существует или не равна f). Тогда f интегрируема на [a,b] в смысле Курцвейля-Хенстока и  – формула Ньютона-Лейбница.

Множества меры ноль по Лебегу

Колебание функции f на множестве Е (на котором f определена) – это величина osc(f,E)=.

Если f ограниченна и непрерывна почти всюду на [a,b], то f интегрируема на [a,b] по Риману и по Мак-Шейну.

Если f интегрируема по Риману на [a,b], то

Если f интегрируема по Риману на [a,b], то f ограничена на [a,b] и непрерывна почти всюду на [a,b].

Дополнительные свойства интеграла Римана

Верхняя мера Лебега множества ЕR – это величина , где {li}i – система интервалов.

Невырожденный отрезок не является множеством меры 0 по Лебегу.

Если f непрерывна на замкнутом множестве FR, то ее можно доопределить на R\F так, что полученная функция будет непрерывна на R..

Пусть f определена, ограничена и измерима на [a,b], тогда f интегрируема на [a,b] по Мак-Шейну.

Если f определена и равна нулю почти всюду на [a,b], то f интегрируема по Мак-Шейну на [a,b] и .

Если f определена, ограничена и интегрируема на [a,b] (по Риману, Мак-Шейну, Курцвейлю-Хенстоку), то ее интеграл с переменным верхним пределом .

Пусть f интегрируема по Мак-Шейну (Курцвейлю-Хенстоку) на [a,b]. Пусть для >0  (х)>0 на [a,b]:  (T,) согласованное с (х) (и с ii):  согласованного с (х) (и с ii) .

Пусть f интегрируема по Курцвейлю-Хенстоку на [a,b]. Тогда интеграл с переменным верхним пределом  – непрерывная на [a,b] функция.

Теорема (Витали) Пусть система невырожденных отрезков  покрывает ограниченное множество Е в смысле Витали. Тогда можно выбрать не более чем счетную систему отрезков k, которая попарно не пересекается, покрывает почти все Е и .

Следствие (Витали) Если система невырожденных отрезков  покрывает ограниченное множество Е в смысле Витали, то >0  отрезки iв конечном числе, которые попарно пересекаются и .

Если f интегрируема на [a,b] по Мак-Шейну, то и |f| интегрируем по Мак-Шейну на [a,b] и .

Интегралы Стилтьеса

Функции ограниченной вариации

Свойства функций с ограниченной вариацией

Если f определена на промежутке  – неубывающие функции на I.

Если .

Дополнительные свойства интегралов Стилтьеса

Теорема об интегрировании по частям

Пусть f ограниченна на [a,b], а функции  и f интегрируемы на [a,b],  – интеграл с переменным верхним пределом   интеграл .

Теорема интегрирование по частям в интеграле Римана

Теорема о замене переменных в интеграле Римана

Первая теорема о среднем

Вторая теорема о среднем

Несобственные интегралы

Теорема критерий Коши несобственной интегрируемости

Признаки сходимости