Сопромат Основные виды деформаций Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии Кручение стержней круглого сечения Сложное сопротивление. Изгиб с кручением Алгоритм решения задач статики Пример выполнения курсового задания

Сопромат, механика примеры решения задач

Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии

Найденные значения напряжений в заданном сечении позволяют оценить прочность стержня, если известны допускаемые напряжения для его материала. Условие прочности записывают в таком виде:

. (3.10)

Если известно усилие, действующее в сечении и величина допускаемого напряжения, то можно определить требуемую площадь поперечного сечения:

. (3.11)

При известных площади сечения и допускаемом напряжении, можно определить допускаемое усилие в стержне:

. (3.12)

В некоторых случаях лимитирующим фактором работы стержня (детали) является обеспечение требуемой жесткости. Условие жесткости для стержня, состоящим из нескольких участков имеет следующий вид:

, (3.13)

где - изменение размеров всего стержня;

- изменение длины i-го участка стержня;

- допускаемая величина изменения длины стержня.

В рассматриваемых ниже примерах достаточно подробно изложена методика определения внутренних сил, напряжений, перемещений и удлинений при растяжении или сжатии стержней. Показано как строятся эпюры всех видов, а также излагаются принципы прочностных расчетов.

3.3.1. Примеры расчетов при действии сосредоточенных сил

П р и м е р 3.1.

Для стального стержня круглого сечения, изображенного на рис. 3.6,а, построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений. Из условий прочности определить диаметр стержня постоянного сечения. Определить изменение его общей длины.

Исходные данные:

P = 12 кН; а = 0,2 м. Материал стержня – сталь Ст3, модуль упругости металла МПа, допускаемые напряжения на растяжение [] = 160 МПа.

Р е ш е н и е.

Разобьем стержень на три отдельных участка (I, II, III ), начиная от левого конца; границами участков служат сечения, где приложены внешние силы.

Используя метод сечений проведём произвольное сечение х на участке I. Отбросив левую часть стержня, рассмотрим условие равновесия остальной части (правой), заменив действие отброшенной части искомым усилием (рис. 3.6,б). Искомое усилие в сечении направляем от сечения, (предполагаем, что стержень на этом участке растянут), если получим знак «-» , то в действительности сила направлена к сечению (стержень сжат).

Рис. 3.6. Схема стержня и эпюры усилий, напряжений и перемещений в стержне

Рассмотрим процедуру нахождения искомых усилий по участкам и построения эпюры продольных сил.

Участок I ():

Проектируем на ось х все силы оставшиеся на правой части стержня (рис.3.6,б)

,

откуда найдем

кН.

Продольная сила получилась со знаком плюс, т.е. стержень на первом участке испытывает растяжение.

Участок II ().

Для рассматриваемого участка (рис. 3.6,в) условие равновесия правой части стержня будет иметь вид:

откуда найдем

кН.

Величина усилия на втором участке получилась со знаком минус, т.е. она направлена к сечению и, следовательно, стержень испытывает не растяжение, как предполагалось, а сжатие.

Участок III (2).

Для рассматриваемого участка (рис. 3.6,г) условие равновесия правой части стержня будет иметь вид:

откуда найдем

кН.

По результатам определения внутренних усилий в стержне строим эпюру продольных сил по длине стержня (рис. 3.6,д).

Так как проектируемый стержень должен быть постоянного поперечного сечения, то подбирать последнее нужно по большему по абсолютной величине усилию, действующему в средней части. Выражение для напряжения в поперечных сечениях этого участка запишется следующим образом (см. формулу 3.10):

*,

откуда

.

По площади определяем требуемый диаметр

Диаметр необходимо увеличить до ближайшего большего, принятого согласно ГОСТу. Следует взять d =14 мм (F = 154 мм2).

Отметим, что расчет на прочность при сжатии является достаточным только для коротких стержней, в частности для стальных круглых, когда (l/d) <20. При сжатии же длинных стержней может произойти потеря устойчивости. В нашем случае указанное выше условие для сжатой части стержня выполняется.

Для построения полной эпюры напряжений по всей длине стержня необходимо найти напряжения на всех участках.

Теперь можно построить эпюру нормальных напряжений по длине стержня – рис. 3.6,е.

Определим перемещение сечений стержня. Примем, например, за начало отсчета левый конец стержня, условно считая его неподвижным. Напомним, что перемещение любого сечения относительно другого (например, сечение начала отсчета) равно изменению длины участка стержня между этими сечениями (формула 3.8).

Участок I ():

На первом участке перемещение сечения с координатой х можно определить по зависимости:

Абсолютное изменение длины стержня на первом участке будет:

,

т.е. стержень на этом участке получил удлинение 0,0779 мм.

При определении перемещений сечений на последующих участках следует учесть перемещения на всех предыдущих.

Участок II ()

.

Абсолютное изменение длины второго участка стержня будет:

– 0,0779 – 0,0779 = – 0,1558 мм .

Видно, что второй участок получил укорочение -0,1558 мм..

Участок III ()

Абсолютное изменение длины третьего участка стержня будет:

0 – (– 0,0779) = 0,0779 мм.

Третий участок получил удлинение 0,0779 мм.

Изменение длины всего стерня составит

.

В данном случае длина всего стержня не изменится, так как перемещение его правого конца относительно левого оказалось равным нулю. Эпюра перемещений представлена на рис. 3.6,ж.

Напряжения, деформации и перемещения

Пример 3.2 Для стального ступенчатого стержня, изображенного на рис. 3.7,а, построить по длине эпюры продольных сил, нормальных напряжений, перемещений поперечных сечений и изменение длины всего стерня. Из условий прочности определить размеры сечения F2 и проверить прочность сечения F1.

Примеры расчетов при изменяющейся по длине стержня сечения и усилия Построение всех видов эпюр для случая изменяющегося по длине стержня закона продольного усилия, сечения или упругих свойств материала стержня является более сложной задачей и рассматривается в следующих примерах. Рассмотрим вначале случай, когда стержень имеет переменное поперечное сечение и нагружен только сосредоточенными силами.

П р и м е р 3.4 Для стального стержня переменного сечения в виде сужающейся полосы построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.

Испытание материалов на растяжение и сжатие При решении простейших задач на растяжение и сжатие мы уже встретились с необходимостью иметь некоторые исходные экспериментальные данные, на основе которых можно было бы определить требуемые величины (площадь сечения, предельную силу и др.).


Смотрите www.stimul.kiev.ua курсы 1с бухгалтерия киев.
Введение в кинематику примеры решения задач