Сопромат Основные виды деформаций Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии Кручение стержней круглого сечения Сложное сопротивление. Изгиб с кручением Алгоритм решения задач статики Пример выполнения курсового задания

Сопромат, механика примеры решения задач

Сферическое движение твёрдого тела

Рассмотрим движение тела, одна из точек которого во всё время движения остается неподвижной. При таком движении все остальные точки тела движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с неподвижной точкой. Такое движение называют сферическим движением твёрдого тела.

Сферическое движение твёрдого тела – движение, при котором скорость одной точки тела равна нулю, а остальные точки движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с этой неподвижной точкой.

Примером сферического движения тела служит движение волчка, имеющего неподвижную точку О1 (рис. 2.51).

Для определения положения тела в каждый момент времени используют две системы отсчёта: неподвижная система отсчёта O1X1Y1Z1 и подвижная система отсчёта OXYZ, которая жёстко закреплена на теле. При этом начало отсчёта ПСО совпадает с началом отсчёта НСО.

На рис. 2.51 стрелками показаны положительные направления отсчёта углов Ψ, φ, и θ. Рассмотрим подробнее порядок отсчёта этих углов. Плоскость OXY подвижной системы отсчёта OXYZ пересекается с плоскостью O1X1Y1 неподвижной системы отсчёта O1X1Y1Z1 по линии O1L. Эту линию называют осью узлов. Введём единичный вектор р, направленный от точки О1 к точке L оси узлов. Единичные векторы i1, p лежат в горизонтальной плоскости O1X1Y1 и образуют угол Ψ, величина которого зависит от времени. Ψ = f1(t). Положительное направление отсчёта угла Ψ определяют по правилу: смотря навстречу вектору k1, поворот вектора i1 к вектору р должны увидеть происходящим против хода часовой стрелки.

Единичные векторы k1, k образуют плоскость, в которой находится угол θ, который также зависит от времени. θ = f2(t). Положительное направление отсчёта угла θ определяют по правилу: смотря навстречу вектору i, поворот вектора k1, к вектору k должны увидеть происходящим против хода часовой стрелки.

Единичные векторы р, i образуют плоскость, в которой лежит угол φ, величина которого зависти от времени. φ = f3(t). Правило положительного направления отсчёта угла φ: смотря навстречу вектору j, поворот вектора р к вектору i должны увидеть происходящим против хода часовой стрелки.

Подпись:  
Рис. 2.51

Углы Ψ, θ, φ называют также эйлеровыми углами:

угол Ψ – угол прецессии;

угол θ – угол нутации;

угол φ – угол собственного вращения.

Так как положение тела, имеющего одну неподвижную точку, определяется тремя эйлеровыми углами, т. е. тремя параметрами, то оно имеет три степени свободы.

Таким образом, сферическое движение тела описывается тремя уравнениями движения:

Ψ = f1(t); θ = f2(t); φ = f3(t).

При сферическом движении широко используют теорему Эйлера-Даламбера.

Твёрдое тело, имеющее одну неподвижную точку, можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг оси, проходящей через неподвижную точку (рис. 2.52).

Подпись:  
Рис. 2.52

Другими словами, тело может вращаться относительно мгновенной оси вращения.

Мгновенная ось вращения – геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю.

В случае сферического движения вектор угловой скорости Ω в данный момент времени откладывается от неподвижной точки О по мгновенной оси в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение тела, происходящим против хода часовой стрелки.

Tело, имеющее одну неподвижную точку, можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку. Примером такого движения является качение подвижного конуса 1 по неподвижному конусу 2 (рис. 2.53). Покажем на рисунке направление вектора мгновенной угловой скорости и запишем формулу для определения модуля скорости точки С подвижного конуса.

Подпись:  

Рис. 2.53

Так как скорость VО точки О конуса 1 равна нулю, то этот конус совершает сферическое движение. Такое движение можно представить как вращательное движение относительно мгновенной оси вращения. Мгновенная ось вращения – геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю. Для тела 1 мгновенной осью вращения является ось ОК (см. рис. 2.53).

Вектор Ω угловой скорости тела 1 откладывается на мгновенной оси вращения в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение тела, происходящим против хода часовой стрелки.

Модуль VC скорости точки С конуса 1 определяют по формуле

VC = Ω·CL,

где CL – кратчайшее расстояние от точки С тела 1 до мгновенной оси вращения.

Для заочной и дистанционной форм обучения выполнение контрольных работ на сферическое движение не предусмотрено. Однако такие задачи довольно часто встречаются в дидактических единицах интернет–экзамена. Приведём примеры решения задач такого типа.

Пример выполнения курсового задания К 3 Дано: схема плоского механизма модуль угловой скорости ведущего звена 1; ω1 = ωАО1 = 1 рад/с; геометрические параметры: АВ = О2В = 1 м; АС = СВ = 0,5 м. Определить модули скоростей точек А, В, С и модули ω2, ω3 угловых скоростей звеньев АВ и ВО2 механизма.

Сложное движение точки В ряде случаев при решении задач механики оказывается целесообразным (а иногда и необходимым) рассматривать движение точки (или тела) одновременно в двух системах отсчёта, из которых одна остается условно неподвижной, а другая определённым образом движется по отношению к первой. Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называется сложным. Например, шар, катящийся по палубе движущегося парохода, можно считать совершающим по отношению к берегу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе, с которой связана подвижная система отсчёта OXYZ, и движения вместе с палубой по отношению к берегу, с которым связана неподвижная система отсчёта O1X1Y1Z1. Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых. Возможность разложения сложного движения точки на более простые путём введения дополнительной (подвижной) системы отсчёта широко используется в кинематических и динамических расчётах.

Сложение скоростей Рассматривается сложное движение точки на плоскости

Пример. Пусть векторы  и Vr лежат в горизонтальной плоскости и направлены так же, как и единичные векторы i, j правой системы отсчёта

Пример 1. Подвижный конус катится по неподвижной горизонтальной плоскости O1X1Y1, имея неподвижную точку О1

Общий случай движения твёрдого тела Рассмотрим движение свободного твёрдого тела в неподвижной системе отсчёта OXYZ В общем случае движение свободного тела в пространстве можно рассматривать как сумму простейших движений (три поступательных движения, параллельные координатным осям, и три вращательных движения относительно этих осей), которые осуществляются одновременно и независимо друг от друга.


Введение в кинематику примеры решения задач