Сопромат Основные виды деформаций Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии Кручение стержней круглого сечения Сложное сопротивление. Изгиб с кручением Алгоритм решения задач статики Пример выполнения курсового задания

Сопромат, механика примеры решения задач

Определение скоростей точек тела с помощью мгновенного центра скоростей

Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек при плоскопараллельном движении тела основан на понятии мгновенного центра скоростей.

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка сечения S тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Легко убедиться в том, что если тело движется не поступательно, то такая точка в каждый момент времени существует и притом единственная.

Подпись:  

Рис. 2.32
Пусть заданы скорости VA и VB двух точек А и В тела. Тогда точка Р, лежащая на пересечении перпендикуляров к соответствующим векторам VA и VB будет мгновенным центром скоростей, так как VР = 0 (рис. 2.32).

Таким образом, в каждый момент времени плоскопараллельное движение тела можно представить как вращательное относительно оси, проходящей через МЦС. Исходя из этого, имеем:

VA = ω·AP; VA ┴ AP; VB = ω·BP; VB ┴ BP,

где ω – модуль угловой скорости  тела.

Отсюда следует VA/AP = VB/BP = ω, т. е. модули скоростей точек тела пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей.

Полученные результаты приводят к следующим выводам:

для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей VA и VB каких-нибудь двух точек А и В тела (или траектории этих точек). МЦС находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках А и В к скоростям этих точек (или к касательным к траекториям);

для определения скорости любой точки тела надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь точки А тела и направление скорости другой его точки В. Тогда, восстановив из точек А и В перпендикуляры к VA и VB, определим МЦС (точку Р) и по направлению VA найдем направление поворота тела. После того, зная VA, найдем скорость VВ любой точки тела. Направлен вектор VВ перпендикулярно ВР (VВ ┴ ВР) в сторону поворота тела;

модуль угловой скорости тела равен отношению модуля скорости какой-нибудь точки к её расстоянию до мгновенного центра скоростей: ω = VA/АР = VВ/ВР = VС/СР = ….

Различные случаи определения положения

мгновенного центра скоростей

Случай 1

Подпись:  

Рис. 2.33
Пусть известен вектор скорости VA точки А и линия действия вектора скорости VВ точки В (рис. 2.33).

Восстановив перпендикуляры к скоростям в точках А и В, определим положение МЦС (точка Р) и направление вращения тела. Тогда: VA = ω·АР; ω = VA/АР; VВ = ω·ВР; VС = ω·СР; VA ┴ АР; VВ ┴ ВР; VС ┴ СР, где ω – модуль угловой скорости  тела.

В такой последовательности можно определить скорость любой точки тела.

На рис. 2.34 – 2.36 представлены другие случаи графического определения МЦС.

Порядок определения МЦС для случаев 2, 3, 4 не требует особых комментариев. Все формулы, полученные для первого случая, остаются справедливыми и для остальных случаев.

Подпись:  

Рис. 2.34

Подпись:  

Рис. 2.35

Подпись:  

Рис. 2.36
Рассматривается особый случай плоскопараллельного движения, при котором скорости точек VA и VВ параллельны (рис. 2.37).

Подпись:  
Рис. 2.37

Если скорости точек А и В параллельны, то мгновенный центр скоростей находится в бесконечности (АР = ; ВР =  и т. д.). Очевидно, что в этом случае ω = VA/AP = VA/ = 0. Поэтому скорости точек плоской фигуры в рассматриваемый момент времени геометрически равны: VA = VB = VC =…

Следует отметить, что при поступательном движении плоской фигуры скорости всех её точек в каждый момент времени также геометрически равны и мгновенный центр скоростей этой фигуры находится в бесконечности. Если условие VA = VB = VC = …остается справедливым в течение некоторого промежутка времени, а не только в отдельный момент, то движение плоской фигуры является поступательным. Если же VA = VB = VC только в некоторый момент времени, то утверждать, что плоская фигура движется поступательно, нельзя. В этом случае говорят, что движение тела является мгновенно поступательным. При мгновенно поступательном движении происходит смена направлений вращения, при этом углоПодпись:  

Рис. 2.38
вая скорость  = 0, а угловое ускорение  ≠ 0 (рис. 2.38).

График зависимости  = f(t) разбит на две зоны. В зоне I тело вращается по ходу часовой стрелки, а в зоне II – против хода часовой стрелки. При мгновенно поступательном движении  = 0,  = tg(β) ≠ 0.

Поступательным движением твёрдого тела называется такое движение, при котором любая прямая линия, проведенная на теле, остается во всё время движения тела параллельной своему начальному положению

Вращательным движением твёрдого тела называется такое его движение, при котором все точки, находящиеся на прямой, неизменно связанной с телом и называемой осью вращения, остаются неподвижными.

Пример выполнения курсового задания К 2 Дано: схема плоского механизма уравнение движения груза 1: Х = 2·t2 + 2, см; радиусы колес: R2 = 50 см; r2 = 30 см; R3 = 60 см; r3 = 40 см. Определить кинематические характеристики точки М тела 3 в момент времени t1 = 1 c (VM(t1) = ?; (t1) = ?; (t1) = ? (t1) = ?).

Плоскопараллельным (плоским) движением твёрдого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости. Плоскопараллельные движения совершают многие тела механизмов и машин, например, катящееся колесо, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др.


Введение в кинематику примеры решения задач