Сопромат Основные виды деформаций Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии Кручение стержней круглого сечения Сложное сопротивление. Изгиб с кручением Алгоритм решения задач статики Пример выполнения курсового задания

Сопромат, механика примеры решения задач

Пример выполнения курсового задания К 2

Дано: схема плоского механизма (рис. 2.25); уравнение движения груза 1: Х = 2·t2 + 2, см; радиусы колес: R2 = 50 см; r2 = 30 см; R3 = 60 см; r3 = 40 см. Определить кинематические характеристики точки М тела 3 в момент времени t1 = 1 c (VM(t1) = ?; (t1) = ?; (t1) = ? (t1) = ?).

Подпись:  

Рис. 2.25

Решение. В начальный момент времени при t0 = 0 координата X(t0) = 2·(t0)2 + 2 = 2·02 + 2 = 2 см. Дифференцированием по времени уравнения движения груза 1 найдем проекцию  скорости его центра масс на ось ОХ:

  =  = dX/dt = d(2t2 + 2)/dt = 4·t.

Так как  = 4·t > 0, то  = V и, следовательно, координата Х = f(t) с течением времени увеличивается. Для графического построения определяемых кинематических характеристик изобразим механизм в произвольный момент времени t (рис. 2.26).

Так как груз 1 и участок АВ нити совершают поступательные движения, то справедливо равенство VB = V.

Точка В принадлежит телу 2, совершающему вращательное движение в системе отсчёта C2X2Y2Z2, поэтому модуль скорости этой точки определится из формулы VB = ω2·BC2 = ω2·r2 = II·r2, где ω2 – модуль угловой скорости  тела 2. Согласно рис. 2.26 вращение тела 2 происходит против хода часовой стрелки. Определим модуль ω2 угловой скорости  тела 2 по формуле ω2 = VB/r2 = V/r2. По известному модулю ω2 угловой скорости тела 2 определяется модуль VC скорости точки С тела 2:

Подпись:  

Рис. 2.26
VC = ω2·CC2 = ω2·R2 = (V/r2)·R2 = V·(R2/r2).

Так как участок нити CD совершает поступательное движение, то справедливо равенство VC = VD = V·(R2/r2). С другой стороны, точка D принадлежит колесу 3. Исходя из условия принадлежности этой точки телу 3, имеем VD = ω3·R3 = V·(R2/r2), где ω3 – модуль угловой скорости  тела 3. Тело 3 осуществляет вращение в направлении хода часовой стрелки. Его угловая скорость вычисляется по формуле

  = ·(R2/(r2·R3)) = (4·t)·(R2/(r2·R3)).

По известной угловой скорости  тела 3, находят его угловое ускорение .

  = d/dt = 4·(R2/(r2·R3)) = const > 0.

Так как  > 0 и  = const > 0, то происходит равноускоренное вращение тела 3. Определяем кинематические характеристики точки М тела 3 в момент времени (t1).

Модуль угловой скорости

ω3(t1) = I(t1)I = (4·t1)·(R2/(r2·R3)).

Модуль углового ускорения

ε3(t1) =  = 4·(R2/(r2·R3)).

Модуль скорости точки М равна

VM(t1) = ω3(t1)·MC3 = ω3(t1)·r3 = (4·t1)·(R2·r3/(r2·R3)).

Модуль центростремительного ускорения точки М

(t1) = (ω3(t1))2·MC3 = (ω3(t1))2·r3 = (4·t1·(R2/(r2·R3)))2·r3.

Модуль вращательного ускорения равен

(t1) = ε3(t1)·r3 = 4·(R2·r3/(r2·R3)).

Модуль полного ускорения точки М

.

Произведём вычисления для момента времени t1 = 1 c и полученные значения сведём в таблицу.

Таблица

ω3(t1), рад/с

ε3(t1), рад/с2

VM(t1), см/с

(t1), см/с2

(t1), см/с2

(t1), см/с2

1,111

1,111

44,444

49,382

44,444

66,434

Кинематические характеристики точки М показаны на рис. 2.26.


Введение в кинематику примеры решения задач