Сопромат Основные виды деформаций Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии Кручение стержней круглого сечения Сложное сопротивление. Изгиб с кручением Алгоритм решения задач статики Пример выполнения курсового задания

Сопромат, механика примеры решения задач

Вращательное движение твёрдого тела

Вращательным движением твёрдого тела называется такое его движение, при котором все точки, находящиеся на прямой, неизменно связанной с телом и называемой осью вращения, остаются неподвижными.

Таким образом, при вращательном движении твёрдого тела ось вращения всегда неподвижна (рис. 2.20).

При этом движении все остальные точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на неподвижной оси вращения.

При вращении тела угол его поворота φ изменяется в зависимости от времени t:

Подпись:  

Рис. 2.20
φ = f(t).

Эту аналитическую зависимость (φ = f(t)) называют уравнением вращательного движения твёрдого тела. Она полностью определяет положение тела в пространстве в любой момент времени.

На рис. 2.20 показано направление положительного отсчёта угла поворота φ. Угол φ измеряется в рад.

Пусть, например, задано уравнение вращательного движения

φ = ·t2 + 2··t + /4 (рад).

Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота φ с течением времени, называется угловой скоростью и обозначается .

Угловая скорость  равна производной по времени от уравнения φ = f(t) вращательного движения твердого тела:

  = dφ/dt.

Угловую скорость принято обозначать , где (·) – символ дифференцирования функции φ = f(t) по времени.

Для приведенного примера уравнения вращательного движения тела φ = t2 + 2t + /4 имеем  = dφ/dt = 2t + 2.

Угловая скорость измеряется в рад/с.

Если   > 0, то угол поворота φ увеличивается, т. е. вращение тела происходит в положительном направлении отсчёта угла поворота.

Если   < 0, то угол поворота φ уменьшается, т. е. тело вращается в сторону отрицательного направления отсчёта угла φ.

Если   при переходе значения  = 0, непрерывно изменяясь, меняет знак, то угол поворота φ в этот момент времени достигает максимума или минимума, т. е. изменяется направление вращения тела.

Таким образом, знак производной  указывает направление вращения тела.

Модуль угловой скорости обозначают символом ω. Отсюда имеем ω = II.

Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела.

Угловое ускорение принято обозначать , где (··) – символ двойного дифференцирования функции φ = f(t) по времени.

Угловое ускорение  равно второй производной по времени от угла поворота φ или первой производной по времени от угловой скорости :

  = d2φ/dt2 = d/dt.

Для рассматриваемого случая имеем

  = d/dt = d(2··t + 2·)/dt = 2· рад/с2 = const > 0.

Угловое ускорение  имеет размерность рад/с2. Модуль углового ускорения обозначают символом ε. Исходя из этого, имеем ε = II.

Если знаки  и  совпадают, то вращение тела происходит ускоренно:

  > 0 и  > 0 – происходит ускоренное вращение тела, величина угла φ возрастает;

  < 0 и  < 0 – величина угла поворота φ ускоренно уменьшается.

Если знаки  и  не совпадают, то происходит замедленное вращение тела:

  > 0 и  < 0 – угол поворота φ возрастает замедленно;

  < 0 и  > 0 – величина угла поворота φ замедленно уменьшается.

Если угловое ускорение  = 0 = const, то происходит равномерное вращение тела, при котором угловая скорость  постоянна. Уравнение равномерного вращения имеет вид

φ = f(t) = φ0 + ·t.

Если начальный угол поворота φ0 = 0, то φ = f(t) = ·t. Из уравнения равномерного вращения имеем  = (φ – φ0)/t, т. е. угловая скорость равномерного вращения тела равна отношению угла поворота за некоторый промежуток времени к этому промежутку времени.

Число оборотов, совершаемых вращающимся телом за единицу времени (обычно за минуту), называется частотой вращения и обозначается n (об/мин). Так как один оборот равен 2· радиан, то зависимость между модулем ω угловой скорости   (рад/с) и частотой вращения имеет вид

ω = 2··n/60 = ·n/30.

Вращение тела, при котором угловое ускорение постоянно и не равно нулю ( = C1 = const ≠ 0), называют равнопеременным вращением. При этом если абсолютная величина угловой скорости увеличивается, вращение называют равноускоренным, а если уменьшается – равнозамедленным. Уравнение равнопеременного вращения имеет вид

φ = φ(t) = φ0 + ·t + (·t2)/2.

При дифференцировании этого уравнения получим угловую скорость

 = dφ/dt =  + ·t.

Угловая скорость  и угловое ускорение  являются векторными величинами и обозначаются символами , . Условимся откладывать вектор угловой скорости  от любой точки оси вращения, направляя его по этой оси так, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение тела, происходящим в сторону, противоположную вращению часовой стрелки (рис. 2.21).

Подпись:  
Рис. 2.21

Принятое правило обусловлено применением правой системы отсчёта, которой соответствует положительное направление вращения в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.

Вектор углового ускорения  характеризует изменение вектора угловой скорости   в зависимости от времени, т. е. он должен быть равен производной от вектора угловой скорости по времени:

 = d/dt.

Направление вектора углового ускорения  совпадает с направлением вектора  при ускоренном вращении и противоположно ему при замедленном. Согласно рис. 2.21 тело совершает следующие вращения:

– ускоренное вращение, угол φ увеличивается (рис. 2.21, а);

– ускоренное вращение, угол φ уменьшается (рис. 2.21, б);

– замедленное вращение, угол φ растет (рис. 2.21, в);

– замедленное вращение, угол φ уменьшается (рис. 2.21, г).

При вращательном движении (см. рис. 2.20) все точки тела описывают окружности с центрами на оси вращения. Как известно, скорости точек направлены по касательной к траектории движения. При вращательном движении скорость точки равна произведению модуля ω угловой скорости  тела на кратчайшее расстояние от точки до оси вращения.

VA = ω·AO; VA ┴ AO; VB = ω·BO; VB ┴ BO.

Из теории кинематики точки известно, что её ускорение направлено в сторону вогнутости траектории. Ускорения точек А, В и т. д. при вращательном движении тела раскладывают на составляющие по касательной и главной нормали к траектории движения;

;

,

где ,   – соответственно векторы ускорений точек А и В тела; ,  – соответственно векторы центростремительных ускорений точек А и В; ,   – векторы вращательных ускорений точек А и В.

Модули центростремительных, вращательных и полных ускорений точек тела находят по формулам:

  = ω2·АО;  = ω2·ВО;

  = ε·АО;  = ε·ВО;

;

.

Модуль центростремительного ускорения точки тела равен произведению квадрата модуля угловой скорости на кратчайшее расстояние от точки до оси вращения.

Модуль вращательного ускорения точки тела равен произведению модуля углового ускорения на кратчайшее расстояние от точки до оси вращения.

На рис. 2.22 и 2.23 представлены варианты механизмов с клиноременной передачей вращательного движения.

Условием безаварийной работы передаточного механизма является одинаковая скорость в точке контакта звеньев этого механизма. Так как участок АВ ремня совершает поступательное движение, то скорости точек А и В равны: VA = VB. Так как точка А принадлежит телу 1, то VA = ω1·R1, где ω1 – модуль угловой скорости   тела 1. Точка В принадлежит телу 2, поэтому VB = ω2·R2, где ω2 – модуль угловой скорости  тела 2.

Приравнивая модули скоростей точек А и В, получим:

VA = ω1·R1 = VB = ω2·R2;  i = ω1/ω2 = R2/R1 = d2/d1 = n2/n1,

где i – передаточное отношение механизма; R1, R2, d1, d2, n1, n2 – соответственно радиусы, диаметры и частоты вращений колёс, находящихся во вращательном движении.

Подпись:  

Рис. 2.22						Рис. 2.23

Подпись:  
Рис. 2.24
Существует ряд технических решений, в которых применяется серия колёс с неподвижными осями вращений (рис. 2.24).

Нетрудно заметить, что модули скоростей точек K, L, M в рассматриваемом механизме равны. Тогда VK = VL = VM или через модули ω1 – ω4 угловых скоростей тел ω1·R1 = ω2·R2 = ω3·R3 = ω4·R4. Передаточное отношение такого механизма

i1-4 = ω1/ω4 = R4/R1 = n4/n1 = d4/d1 = z4/z1,

где z1, z4 – числа зубьев соответствующих колес.

Параметры колес 2 и 3 не попали в формулу для определения передаточного отношения, поэтому их называют паразитными колёсами.


Введение в кинематику примеры решения задач