Сопромат Основные виды деформаций Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии Кручение стержней круглого сечения Сложное сопротивление. Изгиб с кручением Алгоритм решения задач статики Пример выполнения курсового задания

Сопромат, механика примеры решения задач

Сложное сопротивление. Изгиб с кручением

Общие сведения

К сложному сопротивлению относятся те виды деформаций, при которых в поперечных сечениях стержня одновременно возникают не менее двух внутренних усилий. В общем случае нагружения бруса в поперечных сечениях могут действовать шесть компонентов внутренних сил (), связанных с четырьмя простыми деформациями стержня – растяжением (сжатием), кручением, изгибом и сдвигом. Общее напряженное состояние в любой точке сечения можно получить суммированием напряженных состояний, вызванных каждым видом простого нагружения в отдельности. Проверка же прочности данного стержня должна производится по так называемым приведенным (эквивалентным) напряжениям , определяемых по той или иной теории прочности. Общая запись условия прочности при сложном напряженном состоянии имеет вид:

, (8.1)

где - приведенное (расчетное) при сложном напряженном состоянии;

- допускаемое напряжение, определяемое при простом растяжении (сжатии) на образцах из данного материала.

Допускаемое напряжение составляет некоторую долю от опасного для данного материала напряжения . В качестве опасного напряжения может быть предел текучести для пластичного материала или предел прочности для хрупкого материала и др. Тогда допускаемое напряжение можно найти так

, (8.2)

где n >1 – коэффициент запаса прочности (назначается в зависимости от степени ответственности рассчитываемого изделия).

В сопромате, чаще всего, используются четыре классических теории прочности.

Первая теория прочности (I) – теория наибольших нормальных напряжений – основана на гипотезе о том, что опасное состояние наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение (растяжения или сжатия) достигнет опасного значения. Напомним, что при сложном напряженном состоянии, наибольшее положительное нормальное напряжение обозначается как , а отрицательное - .

Условие прочности согласно первой теории будет иметь вид:

, (8.3)

или

. (8.4)

Первая теория прочности справедлива лишь для хрупких материалов (кирпич, керамика, камень и т.п.).

Вторая теория прочности (II) – теория наибольших относительных удлинений – исходит из гипотезы о том, что разрушение наступает тогда, когда наибольшая по модулю относительная деформация достигнет опасного значения , а условие прочности запишется в виде

. (8.5)

Значение допускаемых деформаций может быть найдено по зависимости

, (8.6)

где Е – модуль упругости материала.

Используя обобщенный закон Гука можно представить условие прочности через компоненты напряжений в виде:

, (8.7)

где - коэффициент Пуассона (для стали = 0,3).

Опыт показывает, что II-я теория прочности дает правильные результаты лишь для хрупкого состояния материала (например, для чугуна, закаленных легированных сталей и т.п.).

Третья теория прочности (III) – теория наибольших касательных напряжений.

Согласно этой гипотезе разрушение наступит, если наибольшие касательные напряжения достигают опасного значения, т.е. . Условие прочности в касательных напряжениях будет иметь вид:

, (8.8)

где - допускаемые напряжения для материала при срезе.

Так как максимальные касательные напряжения можно определить через компоненты главных напряжений , а , условие прочности в приведенных напряжениях можно представить так

. (8.9)

В некоторых случаях, когда в опасной точке напряженное состояние не одноосное, удобнее определять приведенные напряжения не через главные напряжения, а через нормальные и касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении стержня. Тогда условия (8.8) и (8.9) будут иметь вид:

; (8.10)

. (8.11)

Третья теория прочности применима для многих металлов и сплавов.

Четвертая теория прочности (IV) – энергетическая. Она исходит из предпосылки о том, что количество потенциальной энергии формоизменения, накопленной к моменту наступления опасного состояния (текучести материала), одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом растяжении. Условие прочности, выраженное через главные напряжения при объемном напряженном состоянии, будет

. (8.12)

Для частного случая изгиба с кручением, условие прочности по четвертой теории, выраженное через нормальные и касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении стержня, имеет вид:

. (8.13)

Четвертая теория прочности наиболее часто используется для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие (практически все машиностроительные и строительные стали).

Применение гипотез прочности позволяет рассчитывать валы и другие элементы конструкций, испытывающих совместное действие изгиба и кручения. Влиянием поперечных сил, как правило, пренебрегают, поскольку касательные напряжения вызываемые ими невелики.

Ранее упоминалось, что в общем случае нагружения стержня (пространственный изгиб с кручением) в его поперечных сечениях могут действовать одновременно несколько компонентов внутренних сил, например, изгибающие моменты () относительно осей y (в горизонтальной плоскости) и z (в вертикальной плоскости) и крутящий момент . Складывая геометрически векторы , получаем вектор результирующего изгибающего момента

. (8.14)

Для круглого сечения нормальные напряжения можно определить непосредственно по результирующему изгибающему моменту:

, (8.15)

где - момент сопротивления поперечного сечения при изгибе.

Проверка прочности вала в заданном сечении при совместном действии кручения и результирующего изгиба должна производится на основе какой-либо гипотезы прочности. Например, составим расчетную зависимость по четвертой гипотезе прочности (см. ф-лу 8.13):

. (8.16)

Учитывая, что для круглого сечения (сплошного или кольцевого) , условие (8.16) преобразуем к виду

. (8.17)

Внешне эта формула аналогична расчетной зависимости при простом изгибе, поэтому величину, стоящую в числителе, называют приведенным (эквивалентным) моментом:

.

Для нахождения наиболее нагруженного (опасного) сечения вала строят эпюры , и , а иногда и эпюру .

При проектном расчете из формулы (8.17) определяют величину требуемого диаметра сплошного круглого сечения вала через требуемую величину момента сопротивления ():

. (8.18)

В некоторых случаях лимитирующим фактором работы вала является обеспечение требуемой его жесткости на скручивание. Условие жесткости при кручении имеет вид:

, (8.19)

где - допускаемый относительный угол закручивания.

Используя условие жесткости при кручении круглого вала единичной длины (8.19) и учитывая, что , запишем:

.

Тогда, требуемый диаметр по условию жесткости будет

(8.20)

Из двух значений диаметра d (по формулам 8.18 и 8.20) принимаем больший, округляя его до целой величины.

Плоский поперечный изгиб прямых брусьев

Определение прогибов балки и углов поворотов сечений

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Подбор сечения балки по условию прочности

П р и м е р 8.1. Два шкива одинакового диаметра D = 55 см, насажены на стальной вал и передают мощность N = 6 кВт при частоте вращения n = 500 об/мин. Натяжение ведущего ремня вдвое больше ведомого: Т1=2Т2. Определить диаметр вала d из условий прочности и жесткости.


Введение в кинематику примеры решения задач