Сопромат Основные виды деформаций Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии Кручение стержней круглого сечения Сложное сопротивление. Изгиб с кручением Алгоритм решения задач статики Пример выполнения курсового задания

Сопромат, механика примеры решения задач

Кручение стержней круглого сечения

Общие сведения

Кручение — это такой вид деформации стержня (бруса), при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор — крутящий момент, обозначаемый Мк Деформация кручения возникает при нагружении бруса внешними парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны его продольной оси. Моменты этих пар будем называть скручивающими моментами и обозначать М. Если скручивающих моментов, приложенных к стержню будет несколько, то будем их обозначать соответственно как М1, М2 и т. д. На рис. 6.1,а изображен стержень, работающий на кручение под действием приложенных к нему скручивающих моментов. Это условное изображение моментов применено взамен пары сил.

Рис. 6.1. Схема скручивания стержня моментом М

На рис. 6.1,б изображен тот же брус в иной проекции. На этом рисунке дан еще один способ условного изображения внешних моментов, часто применяемый в технической литературе; момент представлен в виде двух кружков, соединенных линией. Кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, а кружок с крестом — силу, направленную от наблюдателя.

Во всех случаях будем считать, что алгебраическая сумма скручивающих моментов равна нулю, т. е. брус находится в равновесии. Стержень, работающий на кручение, называется валом. Будем рассматривать валы, имеющие круглое сплошное или полое сечение.

Для определения внутреннего силового фактора - крутящего момента Мк в произвольном сечении с абсциссой х (рис.6.1,а) воспользуемся методом сечений, подробно рассмотренный в разделе растяжение-сжатие. Крутящий момент, возникающий в произвольном сечении вала, численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов, действующих на вал справа или слева от рассматриваемого сечения.

Знак крутящего момента не имеет физического смысла, но для определенности при построении эпюр условимся о следующем правиле знаков. Будем считать крутящий момент положительным, если для наблюдателя, смотрящего на сечение, он представляется направленным по часовой стрелке (рис. 6.2). Соответствующий внешний момент направлен против часовой стрелки.

Рис. 6.2. Правила знаков для крутящего момента Мк

Для вращающихся валов величина крутящего момента зависит от передаваемой им мощности. Если мощность W задана в кВт, а скорость вращения вала n — числом оборотов в минуту, то крутящий момент определяется так:

. (6.1)

Если мощность N выражается в лошадиных силах, тогда

. (6.2)

При кручении стержня в его поперечных сечениях возникают касательные напряжения (см. рис. 6.3), определяемые по формуле

, (6.3)

где - касательные напряжения в равноудаленных от центра точках поперечного сечения вала на расстояние ;

- полярный момент инерции сечения.

Наибольшее значение касательные напряжения достигают на поверхности вала, т.е. при

. (6.6)

Учитывая, что величина (называется полярным моментом сопротивления, размерность см3) формулу (6.6) запишем в виде

. (6.5)


Полярный момент сопротивления зависит от размеров и типа сечения вала. Для сплошного сечения (рис. 6.3,а)

, (6.6)

для кольцевого сечения (полый вал)

. (6.7)

Если крутящий момент по длине стержня постоянного сечения не изменяется, то взаимный поворот двух поперечных сечений (в радианах), отстоящих друг от друга на расстоянии l, будет определяться по зависимости

, [радиан] (6.8)

где G – модуль сдвига (модуль упругости второго рода).

Для получения угла закручивания в градусах воспользуемся общеизвестной формулой

, [град]. (6.9)

Если крутящий момент изменяется по длине вала скачкообразно или вал имеет ступенчатое изменение сечения, то взаимный угол поворота концевых сечений вала определяется суммированием углов закручивания по участкам, на которых и постоянны:

. (6.10)

Часто при расчете валов на жесткость используется погонная (на единицу длины) или относительная величина угла закручивания

[рад/м].

Геометрические характеристики плоских сечений При решении ряда задач, связанных с прочностными и деформационными расчётами деталей и элементов конструкций, возникает необходимость определения основных геометрических характеристик их поперечных сечений (ГХС). К ним относятся площади поперечных сечений, статические моменты и моменты инерции.

П р и м е р 5.2. Для Z – образного сечения определить положение центра тяжести yc, zc , угол наклона главных центральных осей инерции , моменты инерции относительно центральных осей oy и oz и моменты инерции относительно главных центральных осей U и V.

П р и м е р 5.3. Найти положение главных центральных осей и значения главных центральных моментов инерции для сечения состоящего из неравнополочного уголка сечением 110708 мм (ГОСТ 8510-86) и прямоугольной полосы сечением 20160 мм

Определить геометрические характеристики поперечного сечения лопасти руля судна, ось которой наклонена под углом 15 градусов к оси движения судна.

Расчеты на прочность и жесткость стержней при кручении


Введение в кинематику примеры решения задач