Примеры решения задач по физике Кинематика материальной точки Законы Ньютона Работа Кинетическая энергия Закон сохранения энергии Момент импульса системы материальных точек Динамика твердого тела Силы инерции

Примеры решения задач контрольной по физике


ЗАКОНЫ НЬЮТОНА

При решении задач этого раздела следует руководствоваться основными положениями.

Существуют такие системы отсчёта (их называют инерциальными), в которых тело, не взаимодействующее с другими телами, движется равномерно и прямолинейно. Это утверждение носит название закона инерции, или первого закона Ньютона. В дальнейшем будут использоваться, если не оговорено особо, только инерциальные системы отсчёта.

Если тело взаимодействует с другими телами, то его движение уже не будет равномерным и прямолинейным. Иными словами скорость тела будет изменяться, т.е. тело будет двигаться с ускорением.

Всякое взаимодействия тел характеризуется силой. Ускорение тела пропорционально сумме сил, действующих на это тело:

ma = SF.

Это уравнение носит название второго закона Ньютона. Здесь m – масса частицы, a – вектор её ускорения, SF – векторная сумма сил, действующих на частицу со стороны других тел. Отметим здесь, что если в задаче рассматривается движение нескольких тел, то для каждого из них необходимо записать своё уравнение второго закона Ньютона. При этом система отсчёта может быть выбрана одной для всей системы тел, а можно для каждого тела выбирать свою систему отсчёта.

Рис. 2.1

При соприкосновении тел между ними возникают силы, приложенные в точке их соприкосновения, эти силы носят название сил реакции поверхностей. Силы реакции, если поверхности гладкие, направлены перпендикулярно поверхностям соприкасающихся тел, или, более строго, силы реакции направлены перпендикулярно касательной плоскости, проходящей через точку касания тел (рис. 2.1).

Если поверхности шероховатые, то сила реакции уже не будет перпендикулярна касательной плоскости. Её компонента, параллельная касательной плоскости, называется силой трения. Причем сила трения возникает либо при попытке сдвинуть одно тело по отношению к другому, либо при скольжении одного тела по поверхности другого. Следует различать два случая, когда встречается сила трения. Рассмотрим тело, находящееся на горизонтальной поверхности. Пусть к телу приложена сила F, направленная горизонтально.

Случай 1. Тело покоится относительно поверхности. Тогда сумма сил, приложенных к телу, равна нулю. Спроецировав силы, действующие на тело, на вертикальное и горизонтальное направление, получим, что сила тяжести уравновешивается нормальной составляющей силы реакции поверхности. А горизонтальная составляющая силы реакции, т.е. сила трения покоя, равна по величине и противоположна по направлению внешней силе F, направленной вдоль поверхности, на которой находится тело. Сказанное иллюстрируется рис. 2.2, на котором

.

Рис. 2.2

Случай 2. Тело скользит по поверхности. В этом случае сила трения называется силой трения скольжения . Она направлена в сторону, противоположную направлению движения тела и равна по величине

,

где N – величина нормальной составляющей силы реакции поверхности, k – коэффициент трения между телом и поверхностью. Считается также, что:

.

Силы взаимодействия между телами равны по величине, противоположны по направлению и действуют вдоль одной прямой (третий закон Ньютона).

Задача 2.1. На горизонтальном столе находятся два бруска с массами m1 и m2, связанные невесомой, нерастяжимой нитью. Брусок m1 тянут с силой F, направленной параллельно столу. Коэффициент трения между брусками и столом – k. Найти ускорение, с которым движутся бруски и силу натяжения нити, связывающей их.

Решение. На рис. 2.3 изображены силы, действующие на каждое из тел. Так как нить предполагается нерастяжимой, то тела движутся с одинаковыми скоростями и, следовательно, с одинаковыми ускорениями. Составим уравнения второго закона Ньютона для каждого тела:

m1a = F + T1 + Fтр1+ N1 + m1g, (1)

m2a = T2 + Fтр2 + N2 + m2g. (2)

Рис. 2.3

Выберем систему координат XOY так, чтобы ось ОХ была направлена горизонтально, а ось OY – вертикально. Записывая (1) и (2) в проекциях на ОХ и OY, получаем:

m1ax = F – T1 – Fтр1, (3)

0 = N1 – m1g, (4)

m2a = T2 – Fтр2, (5)

0 = N2 – m2g. (6)

Мы получили четыре уравнения для семи неизвестных: ах, T1, Т2, N1, N2, Fтр1, Fтр2. Для того чтобы эта система имела единственное решение, необходимы еще три уравнения. Первое из этих трех уравнений получим, если помимо нерастяжимости нити учтем еще и её невесомость. Так как нить нерастяжима, то ее ускорение равно ускорению тел, которые она соединяет. Тогда уравнение второго закона Ньютона для нити имеет вид:

mн ax = T1 – T2,

где mн – масса нити, T1 и T2 – силы, приложенные к нити со стороны первого и второго тел соответственно. Так как нить невесома, то mн = 0 и T1 – T2 = 0, т.е. T1 = T2.

Иными словами, нерастяжимая невесомая нить действует с одинаковыми силами на тела, которые она соединяет. Причем силы эти направлены вдоль нити. В дальнейшем мы этот результат будем постоянно использовать и не делать различия между T1 и T2, обозначая их одной буквой, скажем, Т. Равенство T1 = T2 одно из трех недостающих уравнений. Нам нужны еще два уравнения. Для их получения рассмотрим силы трения. Возможны, очевидно, два случая.

Случай 1. Тела движутся, поэтому: Fтр1 = kN1, Fтр2 = kN2. Тогда с учетом этих соотношений имеем вместо (3)–(6) следующую систему уравнений:

m1ax = F – T – km1g, (7)

m2ax = T – km2g. (8)

Складывая эти уравнения, получим:

(m1+ m2)ax = F – k(m1+ m2)g,

откуда находим ускорение:

. (9)

Затем из второго уравнения этой системы найдем Т:

T =m2ax + km2g,

подставляя сюда ах из (9), получим:

.  (10)

Проанализируем полученное выражение для ах. Это следует делать всегда, но особенно в тех случаях, когда результат не является знакопостоянной величиной (т.е. в нём где-то содержится разность некоторых величин). Так как результат для ах получен в предположении, что тела движутся, то очевидно, что ах должно быть положительной величиной:

,

откуда  F > kg (m1+ m2).

Если же это неравенство нарушается, т.е. F < kg (m1+ m2), то тела, очевидно, покоятся. Рассмотрим этот случай.

Случай 2. Тела покоятся, поэтому ах = 0. Из (3)–(6) получаем тогда

0 = F – T – Fтр1,  0 = T – Fтр2,

Если F < km1g, то сила F уравновешена одной лишь силой трения покоя  < km1g. Но тогда

T = F – Fтр1 = 0, Fтр2 = 0.

Если увеличивать F, то будет возрастать и сила трения , до тех пор, пока она не станет равной km1g. Поэтому если

kg (m1+ m2) > F > km1g,

то Fтр1= km1g,  и тогда находим

T = F – km1g < km2g, 

Fтр2 =Т< km2g.

Задача 2.2. На наклонной плоскости, образующей угол a с горизонтом находится тело массы m1, соединенное невесомой нерастяжимой нитью с телом массы m2. Нить перекинута через невесомый блок. Трения в блоке нет. Коэффициент трения между телом и плоскостью равен k. Найти ускорение, с которым движутся тела.

Задача 2.3. На гладком (трения нет) клине с углом наклона a, основание которого горизонтально, находится небольшое тело. С каким ускорением в горизонтальном направлении следует перемещать клин, чтобы тело покоилось относительно клина?

Задача 2.5. Через невесомый блок, прикреплённый к потолку, перекинута невесомая нерастяжимая верёвка. К одному концу верёвки прикреплён груз массы m, а за другой конец ухватилась обезьяна такой же массы. Сначала система находится в покое, но в некоторый момент обезьяна начинает карабкаться вверх по верёвке. На какое расстояние относительно земли переместятся обезьяна и уравновешивающий её груз, если обезьяна переместилась по верёвке на расстояние L?

Задача 2.7. Материальная точка m находится внутри тонкого сферического слоя. Доказать, что сила тяготения, действующая на эту материальную точку со стороны слоя, равна нулю.

Внутреннее сопротивление – это сопротивление участка цепи между полюсами источника тока.

Проводники в электрических цепях могут соединяться последовательно и параллельно.

При последовательном соединении проводников сила тока во всех проводниках одинакова. Общее напряжение в цепи равно сумме напряжений на ее отдельных участках:

Полное сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных проводников:

Движение материальной точки в стационарных потенциальных полях