Примеры решения задач по физике Кинематика материальной точки Законы Ньютона Работа Кинетическая энергия Закон сохранения энергии Момент импульса системы материальных точек Динамика твердого тела Силы инерции

Примеры решения задач контрольной по физике

КОЛЕБАНИЯ

Колебательное движение отличает большая или меньшая степень повторяемости. Предельная полная повторяемость – это периодический процесс, зависимости характеристик которого от времени описываются периодическими функциями вида , где   Т – период.

Особую роль в физике играет периодическое движение, в котором координаты тела изменяются со временем по закону

x(t) = A cos (wt + j), (9.1)

где А, w, j – некоторые константы (причем А и w положительные). Такое движение называется гармоническими колебаниями. Причина такой «особости» гармонических колебаний в том, что всякий периодический процесс можно представить как сумму (возможно, бесконечную) гармонических колебаний.

Величина А называется амплитудой гармонических колебаний, она определяет размах колебаний: |x(t)| £ A, w – частота колебаний, связана с их периодом T соотношением:

  (9.2)

Аргумент косинуса wt + j называется фазой колебания, j – начальная фаза (в момент t = 0).

Скорость и ускорение тела , совершающего гармонические колебания, также изменяются по гармоническому закону:

  (9.3)

Последнее из уравнений показывает, что сила Fх = ma, действующая на тело, совершающее гармонические колебания, зависит от координат тела:

Fх = – mw2x,

или, обозначая k = mw2:

Fх = – k x. (9.4)

Силы такого типа принято называть квазиупругими (т.е. похожими на упругие). Результат (9.4) можно трактовать иначе: если Fx = – kх, то собственная частота колебаний тела связана с массой тела m и коэффициентом k следующим образом:

.

Зависимость потенциальной энергии тела U(x), совершающего гармонические колебания, от координаты тела х получается из (9.4):

Второе из соотношений (3) можно записать в виде:

(9.5)

Это уравнение называют уравнением гармонических колебаний, решением которого, как видим, является (9.1). Отметим, что частота колебаний определяется коэффициентом при х, а что касается амплитуды и начальной фазы колебаний, то они определяются начальным положением тела и его начальной скоростью.

Так как сила, действующая на тело, совершающее гармонические колебания, консервативна, то при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения энергии:

Если продифференцировать это уравнение по времени, то вновь придём к уравнению гармонических колебаний. Этот способ вывода уравнения колебаний часто используется в задачах.

Поскольку энергия сохраняется, то найдя её в момент наибольшего отклонения тела от положения равновесия, когда х = А, получим  

Как видим, энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

При наличии силы трения, пропорциональной скорости υ тела, Fтр = – aυ,  уравнение колебаний имеет вид:

  (9.6)

где 2b = a/m – величина, характеризующая силу трения и называемая коэффициентом затухания. Решение уравнения (6) имеет вид:

  (9.7)

Как видим, такое движение тела можно приближенно рассматривать как гармоническое колебание с экспоненциально уменьшающейся амплитудой. В точном смысле такой процесс не является ни гармоническим колебанием, ни периодическим процессом. Такие колебания называют затухающими. Частота затухающих колебаний W оказывается несколько меньше, чем в отсутствие трения, что вполне понятно, поскольку трение замедляет движение тела.

Если кроме силы (9.3) и силы трения на тело действует еще и внешняя гармоническая сила F(t) = F0 cosgt, то уравнение движения тела имеет вид:

.

Движение, которое будет совершать тело в данном случае, представляет собой сумму (суперпозицию) колебаний: затухающего и вынужденного, т.е. вызванного внешней силой. По истечении достаточно большого времени после начала колебаний (bt >> 1) затухающие колебания прекратятся, и тело будет совершать гармонические колебания с частотой внешней силы g и амплитудой, зависящей от величины внешней силы и её частоты:

.

Отметим, что энергия установившегося вынужденного колебания постоянна, хотя колеблющееся тело непрерывно поглощает энергию (от источника внешней силы), которая превращается в тепло благодаря наличию трения.

Если изменять частоту внешней силы g, то будет изменяться и амплитуда вынужденных колебаний, причем она имеет максимум при частоте внешней силы wрез:

.

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при частоте внешней силы, совпадающей с резонансной частотой wрез, называется резонансом.

Материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, называется математическим маятником. Частота его малых колебаний определяется лишь длиной маятника и ускорением свободного падения:

где l – длина нити.

Твердое тело, совершающее колебания в вертикальной плоскости вокруг неподвижной точки или горизонтальной оси под действием силы тяжести, называется физическим маятником. Частота его малых колебаний: 

где m – масса тела, d – расстояние от оси вращения до центра масс тела, I – момент инерции тела относительно оси вращения.

Период колебаний физического маятника совпадает с периодом колебаний математического, если длина последнего lпривед определяется следующим равенством:

Ее называют приведенной длиной физического маятника.

Задача 9.1. Частица массой т совершает гармонические колебания с частотой w. В начальный момент частица находилась в точке с координатой х0 и двигалась со скоростью υ0. Найти амплитуду и начальную фазу колебаний.

Задача 9.3. Найти частоту колебаний поплавка на воде, если он плавает в воде в вертикальном положении, его масса т, площадь поперечного сечения S. Каким должен быть поплавок, имеющий малую амплитуду колебаний при наличии волн на поверхности воды?

Задача 9.5. Тело массы т движется по горизонтальному гладкому стержню, к концам которого оно прикреплено двумя невесомыми одинаковыми пружинами жёсткости k. Стержень вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью w (рис. 9.5). Найти частоту W колебаний тела относительно его равновесного положения.

Задача 9.7. В одном из фантастических проектов предлагалось построить железнодорожный тоннель для скоростных поездов, которые бы двигались под действием одной только силы тяжести. Для этого тоннель, идущий под землёй должен быть прямым. Найдите время движения поезда от одного конца тоннеля до другого, пренебрегая всеми силами сопротивления.

Задача 9.9. На гладком столе находится коробка массы М, внутри которой находится тело массы т. Это тело прикреплено к коробке двумя одинаковыми пружинами жёсткости k/2 (рис. 9.9). Найти частоту колебаний этой системы пренебрегая силами трения.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Натуральный монохроматический показатель поглощения раствора кровяной сыворотки, измеренный с помощью концентрационного фотоэлектроколориметра, составляет . Определить длину кюветы с раствором, полагая, что он поглощает 40% входящего в него светового потока. Рассеянием света и его поглощением стенками кюветы пренебречь.

2. Сквозь предметное стекло с препаратом крови проходит 60% падающего на нее светового потока, при этом 15% падающей световой энергии отражается от поверхности. Определить толщину предметного стекла, считая натуральный показатель поглощения стекла равным  .

Движение материальной точки в стационарных потенциальных полях