Примеры решения задач по физике Кинематика материальной точки Законы Ньютона Работа Кинетическая энергия Закон сохранения энергии Момент импульса системы материальных точек Динамика твердого тела Силы инерции

Примеры решения задач контрольной по физике

ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА. СИЛЫ ИНЕРЦИИ

В ряде случаев решение задач динамики удобнее производить, рассматривая движение тел относительно неинерциальных систем отсчета, т.е. таких систем отсчета, которые движутся ускоренно относительно инерциальной системы отсчета.

Рис. 8.1

Пусть К – исходная, неподвижная (наша лабораторная) инерциальная система отсчета. Рассмотрим также систему К', которая движется относительно К. Движение системы К ' можно представить как вращение с угловой скоростью w вокруг оси, которая в свою очередь, движется относительно К. Начало отсчета в К ' выберем на оси вращения (рис. 8.1). Тогда для точки т:

V = V0 + [w,r'] +V',

где V0 скорость начала отсчета системы К ' (точки O ' на рис. 8.1) относительно К, а V и V' скорость точки m относительно К и, соответственно, К '

Если ограничиться случаем, когда вектор угловой скорости w вращения системы К ' остаётся постоянным, то имеет место соотношение между ускорением частицы а по отношению к системе отсчёта К и её же ускорением а' по отношению к системе отсчёта К ':

.

Здесь а0 ускорение начала отсчета системы К ' (точки O ' на рис. 1) относительно К, а а и а' ускорение точки m относительно К и, соответственно, К '

Умножая обе части последнего соотношения на массу частицы m, и учитывая, что относительно К справедлив второй закон Ньютона

ma = F,

получим

.

Это уравнение есть основное уравнение динамики в неинерциальной системе отсчета. Как видим, а' вообще говоря, отлично от нуля даже в случае F = 0, т.е. когда тело не взаимодействует с другими телами. Мы видим, таким образом, что ускоренное движение системы отсчета эквивалентно появлению сил инерции.

Первая из сил инерции (–ma0) связана с ускоренным поступательным движением неинерциальной системы отсчета. Как видим, такое движение системы отсчета, в смысле своего влияния на уравнение движения тела эквивалентно появлению однородного силового поля, причем сила, действующая в этом поле, равна произведению массы тела на ускорение системы отсчета а0 и направлена в противоположную этому ускорению сторону.

Рис. 8.2

Сила 2т[V',w] называется силой Кориолиса. Ее особенность состоит в том, что она зависит от скорости частицы V' относительно К'. Сила Кориолиса перпендикулярна вектору скорости частицы V' относительно К' и, следовательно, не совершает над ней работы.

Последняя сила т[w,[r',w]] называется центробежной. Нетрудно заметить, что ее можно записать в виде mw2R, где R – вектор, проведенный перпендикулярно оси вращения к точке т (рис. 8.2). Центробежная сила потенциальна, т.е. ее можно записать в виде

FR = – dUцб/dR,

где FR  – проекция Fцб на направление вектора R. Uцб можно назвать центробежной потенциальной энергией, а сама эта энергия равна

Задача 8.1. На тележке, движущейся прямолинейно по горизонтальной поверхности с ускорением a укреплен штатив, к которому на невесомой нити подвешен маленький тяжелый шарик. Найти угол отклонения нити с шариком от вертикали. Решить задачу как с точки зрения неподвижного наблюдателя K, так и наблюдателя K', движущегося вместе с тележкой.

Рис. 8.3

Решение. Рассмотрим сначала движение шарика относительно неподвижного наблюдателя (рис. 8.3). Это движение происходит в горизонтальном направлении с ускорением а. При этом на шарик действуют две силы: сила тяжести mg и натяжения нити N. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:

ma = N sina,

0 = N cosa – mg.

Исключив отсюда N, получим

Рис. 8.4

Рассмотрим теперь движение шарика относительно наблюдателя K', движущегося вместе с тележкой (рис. 8.4). Шарик относительно тележки покоится, но поскольку система отсчета K', связанная с тележкой, неинерциальна, то условие равновесия шарика надо рассматривать с учетом сил инерции. Тележка движется поступательно, поэтому на шарик действует сила инерции, равная –та. Кроме нее, на шарик действуют также сила тяжести mg и сила натяжения нити N. Сумма этих трех сил должна быть равна нулю, так как шарик в выбранной нами системе отсчета покоится. Записывая условия равновесия шарика в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления, получим систему уравнений:

0 = N sina – ma,

0 = N cosa – mg.

Исключив отсюда N, получим:

Как видим, решение этой задачи каждым из двух рассмотренных здесь способов совершенно одинаково. Это относится ко многим задачам механики, но не следует думать, что переход к неинерциальным системам отсчета не дает преимуществ никогда. В ряде задач такой переход сильно упрощает решение.

Рис. 8.5

Задача 8.2. Брусок А движется с ускорением а по горизонтальной поверхности. На бруске А лежит другой брусок B, высота которого h, а длина – l (рис. 8.5). Брусок В упирается левой своей гранью в небольшой выступ на поверхности бруска А. При каких значениях ускорения а брусок В не будет опрокидываться? Решить задачу как с точки зрения неподвижного наблюдателя K, так и с точки зрения наблюдателя K', движущегося вместе с бруском А.

Задача 8.4. С высокой башни, расположенной на экваторе, свободно падает тело. В каком направлении, и на какое расстояние отклонится тело от вертикали вследствие вращения Земли? Сделать численную оценку, приняв высоту башни равной 500 м.

Задача 8.5. Небольшая муфта массы m находится на гладком горизонтальном стержне, который вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Муфта удерживается нитью, конец которой прикреплен к оси, на расстоянии r0 от неё. В некоторый момент нить пережигают. Найти скорость муфты относительно стержня в тот момент, когда она находится на расстоянии r от оси.

Задача 8.6. Небольшой шарик подвешен на невесомом стержне длины l. Верхний конец стержня шарнирно прикреплен к вертикальной оси, вращающейся с угловой скоростью w. Найти угол отклонения стержня от вертикали.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Натуральный монохроматический показатель поглощения раствора кровяной сыворотки, измеренный с помощью концентрационного фотоэлектроколориметра, составляет . Определить длину кюветы с раствором, полагая, что он поглощает 40% входящего в него светового потока. Рассеянием света и его поглощением стенками кюветы пренебречь.

2. Сквозь предметное стекло с препаратом крови проходит 60% падающего на нее светового потока, при этом 15% падающей световой энергии отражается от поверхности. Определить толщину предметного стекла, считая натуральный показатель поглощения стекла равным  .

Движение материальной точки в стационарных потенциальных полях