Примеры решения задач по физике Кинематика материальной точки Законы Ньютона Работа Кинетическая энергия Закон сохранения энергии Момент импульса системы материальных точек Динамика твердого тела Силы инерции

Примеры решения задач контрольной по физике

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

В механике абсолютно твёрдым телом (далее – просто твердым телом) называют систему материальных точек, расстояния между которыми всё время остаются неизменными.

Поступательным движением твёрдого тела называют такое его движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остаётся параллельной себе самой. Прямая, жестко связанная с телом, – это такая прямая, расстояние от любой точки которой до любой точки тела неизменно в процессе движения.

Рис. 7.1

Вращательным движением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называют такое его движение, при котором все его точки, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности, центры которых лежат на этой оси. Положение тела задаётся углом его поворота вокруг этой оси.

Вектором угловой скорости твёрдого тела называется вектор w, направленный вдоль оси вращения твёрдого тела в ту же сторону, в какую перемещается буравчик, вращающийся вместе с телом (рис. 7.1). Проекция вектора угловой скорости на направление оси вращения (ось OZ) равна производной по времени от угла поворота твёрдого тела:

wz = dj/dt.

Угол поворота считается положительным, если для наблюдателя, расположенного так, что ось вращения направлена к нему, поворот происходит против часовой стрелки. Соответственно, и проекция wz положительна, если для такого наблюдателя вращение тела происходит против часовой стрелки.

Вектор vi скорости произвольной точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен векторному произведению векторов угловой скорости и радиуса-вектора этой точки:

vi = [w,ri].

Начало координат при этом выбрано на оси вращения твёрдого тела (см. рис. 7.1).

Произвольное движение твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как совокупность поступательного и вращательного движений (теорема Эйлера). Точку (полюс) внутри твёрдого тела, через которую проходит ось вращения, можно выбирать произвольно. При этом величина и направление вектора угловой скорости не зависят от выбора полюса, скорость же поступательного движения тела совпадает со скоростью этого полюса. Физически наиболее обусловлено и практически чаще всего наиболее удобно ось вращения выбирать так, чтобы она проходила через центр инерции тела. Тогда движение твердого тела складывается из поступательного движения со скоростью инерции масс этого тела и вращения тела относительно оси, проходящей через центр инерции.

Кинетическая энергия Т твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси равна

где w – величина угловой скорости вращения, а I – момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения, определяемый равенством:

Рис. 7.2

Здесь Dmi – массы "точек" твёрдого тела, a Ri – их расстояния от оси вращения ОО'. Момент инерции в задачах, связанных с вращением твёрдого тела играет роль подобную той, что играет масса тела при его поступательном движении.

Под "точкой" твердого тела подразумевается физически бесконечно малый элемент объема тела с массой Dmi. Суммирование производится по всем таким объёмам, на которые разбито тело.

Если известен IС – момент инерции твёрдого тела относительно некоторой оси OO, проходящей через его центр инерции, то I – момент инерции твердого тела относительно произвольной, но параллельной ей оси O'O' находится с помощью теоремы Штейнера:

I=IС + md 2,

где m – масса твёрдого тела, d – расстояние между осями (Рис. 7.2).

В силу теоремы Эйлера для описания движения твёрдого тела необходимо знать скорость движения его центра инерции и угловую скорость вращения. Поэтому система уравнений, определяющих движение твёрдого тела, состоит из уравнения движения центра инерции и уравнения моментов:

Маци = Fвнеш,

,

где М – масса твёрдого тела, аци – ускорение его центра инерции, Fвнеш – сумма внешних сил, приложенных к твёрдому телу, L – момент импульса твёрдого тела, Мвнеш – сумма моментов внешних сил, приложенных к нему. Заметим, что L и Мвнеш могут вычисляться как относительно центра инерции, так и относительно любой другой точки (разумеется, при этом точка, относительно которой вычисляются L и Мвнеш, должна быть одной и той же как для L, так и для Мвнеш).

Поскольку разложение движения твердого тела на поступательное и вращательное можно производить различными способами, то в некоторых задачах бывает удобно выбирать ось вращения таким образом, чтобы движение твердого тела представлялось как чистое вращение. Положение этой оси будет, вообще говоря, изменяться с течением времени, поэтому ее называют мгновенной осью вращения.

Вектор момента импульса твердого тела определяется как сумма моментов "точек" этого тела:

L= S DLi.

Рис. 7.3

Направление вектора момента импульса твердого тела при вращении вокруг произвольной оси не совпадает, вообще говоря, с направлением этой оси (рис. 7.3). Однако в каждом твердом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его центр инерции, при вращении вокруг которых векторы L и w совпадают по направлению. Такие оси носят название главных осей инерции. Если тело имеет ось симметрии, то она будет одной из главных осей инерции.

Задача 7.1. Докажите, что при поступательном движении твёрдого тела все его точки движутся с одинаковыми скоростями.

Задача 7.5. Как зависит скорость изменения кинетической энергии твёрдого тела, т.е. производная dT/dt, от сил, приложенных к этому телу?

Задача 7.8. Стержень массы m движется так, что его концы скользят по двум сторонам прямого угла. Найти кинетическую энергию стержня в тот момент, когда он образует угол a с одной из сторон угла, а его конец, движущийся по этой стороне, имеет скорость V.

Задача 7.10. На наклонной плоскости, образующей угол a с горизонтом находится шар радиуса R. Центр шара находится на высоте h. С какой скоростью будет двигаться шар (его центр масс) после того, как он скатится с плоскости, если движение происходит без проскальзывания? Горка плавно переходит в горизонтальную плоскость, так что при скатывании шара удара о горизонтальную плоскость не происходит.

Задача 7.11. На гладкой горизонтальной плоскости находится стержень длины l и массы m. Первоначально он стоял вертикально, а затем начал падать. Считая, что стержень начал падать из состояния покоя, определить траекторию, по которой будет двигаться центр инерции стержня, а также скорость его центра инерции в момент удара стержня о плоскость.

Задача 7.14. По бильярдному шару кием нанесли удар в горизонтальном направлении так, что вертикальная плоскость, в которой расположена линия удара, проходила через центр шара. На какой высоте h над центром шара нанесён удар, если после удара шар покатился без проскальзывания?

Задача 7.16. Брусок, находящийся на горизонтальной шероховатой плоскости, толкнули, сообщив ему поступательное движение с некоторой скоростью. Пусть масса бруска т, высота бруска h, коэффициент трения k. Из-за трения скорость бруска будет убывать до нуля. Тем самым, обратятся в нуль импульс,  кинетическая энергия бруска и его момент импульса. Уменьшение импульса и кинетической энергии бруска вызваны, очевидно, силой трения. А чем вызвано уменьшение момента импульса бруска? Действительно, выберем в качестве полюса, относительно которого вычисляются все моменты, точку О на плоскости, являющуюся проекцией на эту плоскость центра инерции бруска в начальный момент времени (рис. 7.18). Тогда момент силы трения относительно этой точки равен нулю, поскольку сила и радиус-вектор её точки приложения коллинеарны. Нормальная компонента силы реакции опоры уравновешена силой тяжести. Получается, будто сумма моментов сил равна нулю, и момент импульса измениться не может?

Задача 7.18. Реактивный истребитель, двигаясь со скоростью υ = 200 м/с, совершает разворот, радиусом R = 1 км. Турбина самолёта имеет момент инерции I = 100 кг×м2 и вращается со скоростью n = 6000 об/мин. Найти величину гироскопических сил, действующих на подшипники, в которых вращается ось турбины, если расстояние между подшипниками l = 3 м. Останется ли лётчик цел и невредим при таком вираже?

ЛИТЕРАТУРА

Ремизов А.Н., Максина А.Г., Потапенко А.Я Медицинская и биологическая физика: Учебник для вузов. – М.: Дрофа, 2008.- 558 с.: ил.

Ремизов А.Н., Максина А.Г. Сборник задач по медицинской и биологической физике: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Дрофа, 2001.- 192 с.: ил.

Блохина М.Е., Эссаулова И. И.А., Мансурова Г.В. Руководство к лабораторным работам по медицинской и биологической физике: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Дрофа, 2001.- 288 с.: ил.

Фарбер Ф.Е. Физика. - М.: Высшая школа, 1979, - 320 с.

Чертов А.Г., Воробьев А.А., Федоров М.Ф. Задачник по физике. Изд. 3-е, исправленное и дополненное, - М.: Высшая школа, 1988, - 528 с.

Иродов И.Е. Сборник задач по атомной и ядерной физике, - М.: Энергоатомиздат, 1984, -216 с.

Движение материальной точки в стационарных потенциальных полях