Примеры решения задач по физике Кинематика материальной точки Законы Ньютона Работа Кинетическая энергия Закон сохранения энергии Момент импульса системы материальных точек Динамика твердого тела Силы инерции

Примеры решения задач контрольной по физике

ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В СТАЦИОНАРНЫХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

При решении задач этого раздела необходимо помнить следующие основные положения.

В физике во многих случаях удобно описывать взаимодействие тел посредством силового поля. Силовое поле – это область пространства, в каждой точке которой, на тело, находящееся в ней, действует сила. Если эти силы не зависят от времени, то такое поле называется стационарным. В дальнейшем мы будем рассматривать только стационарные поля.

Если работа сил, действующих на тело со стороны поля, не зависит от формы траектории тела, а определяется лишь его начальным и конечным положениями, то поле называется потенциальным, а силы, действующие в нем, – потенциальными.

В силу независимости работы потенциальных сил от формы траектории эту работу можно записать в виде убыли потенциальной энергии тела:

Здесь 1 и 2 начальная и конечная точки траектории, U1 и U2 значения потенциальной энергии тела в точках 1 и 2.

Связь между силой и потенциальной энергией дается соотношением:

где Fs – проекция силы на направление, характеризуемое вектором ds, dU/ds – производная потенциальной энергий вдоль направления ds. Знак минус в этом соотношении есть следствие того, что потенциальная энергия вводится так, чтобы сила в потенциальном поле была направлена в сторону убыли потенциальной энергии (см. соотношение п.4).

Механической энергией тела Е называется величина равная сумме его кинетической Т и потенциальной энергий U:

E = T+U.

Если тело движется в стационарном потенциальном поле, то механическая энергия тела остается постоянной. Это утверждение носит название закона сохранения механической энергии.

Стационарные потенциальные поля называют также консервативными полями, а силы, действующие в таких полях – консервативными силами. Это название связано с тем, что такие силы не изменяют, т.е. сохраняют (to conserve – сохранять), механическую энергию тела.

Если на тело действуют также и неконсервативные силы, то закон сохранения энергии, вообще говоря, не имеет места. А именно, если тело перешло из точки 1 в точку 2, то приращение его механической энергии определяется работой неконсервативных сил вдоль траектории движения тела:

Задача 5.1. Потенциальная энергия частицы имеет вид: a)b)  c) U = bx, где a, b, k – константы, r – модуль радиус-вектора r частицы (; х, y, z – декартовы координаты частицы). Найти силу, действующую на частицу, и работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицы из точки с координатами (1, 2, 3) в точку (2, 3, 4).

Решение. Как известно,  поэтому получим соответственно:

a)  

b) Fr = – kr.

Далее, поскольку потенциальная энергия зависит лишь от r, то при перемещении в направлении, перпендикулярном радиальному, она не будет изменяться, а поэтому производные от нее по любому направлению, перпендикулярному r, будут равны нулю. Поэтому в обоих случаях, как а), так и б), силы имеют ненулевую проекцию лишь на радиальное направление, т.е. сила F параллельна радиус-вектору r, поэтому можно написать:

откуда:

В случае c) имеем: Fx= – b, Fy = 0, Fy = 0, т.е. сила направлена в положительном направлении оси ОХ при b < 0 и в отрицательном при b > 0. Этот результат можно записать в виде:

F = – b,

где вектор b имеет проекции:

bx = b, by = 0, bz = 0.

Чтобы найти работу А вспоминаем, что в потенциальном поле:

Откуда

c) A = b×1 – b×2 = – b.

Задача 5.2. Небольшой шарик подвешен к концу невесомого стержня длины L, который может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через другой его конец. С какой скоростью следует толкнуть шарик, чтобы он совершил полный оборот в вертикальной плоскости? Как изменится ответ, если шарик подвешен на нити?

Решение. Задача решается с помощью закона сохранения энергии. Правда, прежде чем применить его, следует выяснить, действительно ли работает этот закон в данном случае. Для этого вспоминаем, что закон сохранения энергии, вообще говоря, нарушается, если на тело действуют неконсервативные силы. В данном случае на шарик действуют две силы: сила тяжести (она консервативна) и сила реакции стержня. Вторая сила неконсервативна, так как зависит, помимо всего прочего, от скорости шарика. Однако наличие неконсервативной силы нарушает закон сохранения энергии лишь в случае, когда работа этой силы отлична от нуля, так как

.

В данном случае сила реакции N стержня в каждый момент времени направлена перпендикулярно скорости v шарика, поэтому ее мощность равна нулю:

P = (N,v)=0.

Рис. 5.1

Таким образом, эта сила работы не совершает, и энергия сохраняется. Очевидно, что наиболее "опасной" точкой является верхняя точка траектории, т.е. точка 2 на рис. 5.1. Если шарик пройдет эту точку, то он совершит полный оборот, поэтому, если шарик подвешен на стержне, то скорость его в точке 2 не может быть меньше нуля.

Итак, согласно закону сохранения энергии получаем

откуда

Потенциальная энергия материальной точки в поле тяжести равна mgh, где h – высота, на которой находится эта точка, то

U­2 – U­1 = mg(h2 – h1) = 2mgL,

так как разность высот шарика в точках 1 и 2 равняется 2L.

Таким образом, получаем, что:

.

Итак, если шарик подвешен на стержне, то скорость, с которой его следует толкнуть, чтобы он совершил полный оборот, равна

.

Для шарика, подвешенного на нити, справедливы все приведенные выше рассуждения, кроме одного: скорость шарика в верхней точке траектории не может быть слишком малой, а тем более нулевой – нить всё время должна быть натянута. Найдем минимальное значение скорости шарика в точке 2. Для этого учтем, что в этой точке обе силы, действующие на шарик, – и сила тяжести, и сила натяжения нити – направлены в одну сторону вдоль нити, т.е. перпендикулярно скорости шарика. Поэтому ускорение шарика также направлено перпендикулярно скорости, т.е. оказывается нормальным ускорением:

.

В силу второго закона Ньютона можем написать в точке 2 уравнение:

man = mg +N.

Отсюда с учетом выражения для ускорения в точке 2, получаем, что

Очевидно, что для нити N > 0 (почему, подумайте сами), поэтому:

.

Опять, используя закон сохранения энергии, получаем:

Окончательно можем написать:

Задача 5.3. Тело массы m толкнули со скоростью υ вверх по наклонной плоскости. На какую высоту h поднимется тело, если угол наклона плоскости равен a, а коэффициент трения между телом и плоскостью k?

Закон Ома для участка цепи:

,

где U – напряжение, R – сопротивление участка цепи, I – сила тока.

Закон Ома для замкнутой цепи:

,

где r – внутреннее сопротивление источника тока, R – внешнее сопротивление цепи, E – ЭДС. ЭДС источника тока численно равна работе перемещения единичного заряда по замкнутой цепи.

Движение материальной точки в стационарных потенциальных полях