Примеры решения задач по физике Кинематика материальной точки Законы Ньютона Работа Кинетическая энергия Закон сохранения энергии Момент импульса системы материальных точек Динамика твердого тела Силы инерции

Примеры решения задач контрольной по физике

РАБОТА. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

При решении задач на эти темы необходимо помнить основные положения.

Рис. 1

Если к материальной точке приложена сила F, и материальная точка совершила перемещение (бесконечно малое!) ds, то работой силы F на этом бесконечно малом перемещении материальной точки ds называется величина:

dA = (F,ds) = F×ds×cos a = Fs×ds,

где a – угол между векторами F и ds, Fs – проекция вектора силы на направление перемещения точки.

Работа, совершённая силой при конечном перемещении материальной точки определяется как сумма работ на бесконечно малых участках, на которые можно разбить траекторию материальной точки.

Мощностью силы называется величина численно равная работе этой силы за единицу времени, точнее это отношение (производная) бесконечно малой работы dA рассматриваемой силы к тому времени dt, за которое она произведена:

.

Кинетической энергией Т материальной точки называется величина:

,

где m – масса, a υ – скорость точки.

Непосредственно из второго закона Ньютона и определений работы и кинетической энергии легко получить соотношение между приращением кинетической энергии материальной точки и работой, которая совершена силой, приложенной к этой точке:

dT = dA.

Это соотношение легко обобщается на случай конечного перемещения частицы:

Т2 – Т1 = А12,

где  – значения кинетической энергии частицы в начале и конце траектории соответственно; А12 – работа, совершённая над частицей при её перемещении вдоль траектории. Это соотношение часто называют теоремой об изменении кинетической энергии частицы.

Кинетическая энергия системы аддитивна. Кинетическая энергия системы из N материальных точек равна сумме кинетических энергий точек, составляющих систему:

Т = Т1+ Т2+ … + ТN.

Кинетическая энергия T системы точек может быть представлена в следующем виде (теорема Кенига):

.

Здесь M – масса системы точек, Vци – скорость центра инерции системы, Т0 – кинетическая энергия этой системы частиц в системе отсчета, движущейся со скоростью центра инерции.

Наглядно теорему Кенига можно представить себе таким образом. Заключим систему частиц в некоторый ящик, скорость движения которого равна скорости центра инерции этой системы частиц. Тогда первое слагаемое обусловлено движением системы частиц вместе с ящиком, а слагаемое Т0 – обусловлено движением частиц внутри ящика. Полная же кинетическая энергия системы частиц складывается из кинетических энергий обоих движений. Энергию Т0 в свете этого представления принято назвать внутренней кинетической энергией.

Заметим ещё, что при переходе в другую систему отсчёта, скорости всех точек изменяются, следовательно, изменяется и кинетическая энергия системы. Однако, как видно из теоремы Кёнига, при этом изменяется лишь первое слагаемое, величина которого зависит от скорости центра инерции. Внутренняя же кинетическая энергия Т0 не изменяется. Таким образом, никаким выбором системы отсчёта невозможно сделать кинетическую энергию системы частиц меньше чем Т0.

Заметим также следующее обстоятельство. Пусть система точек является замкнутой, тогда Vци = const. Если частицы системы взаимодействуют между собой, то все эти взаимодействия могут изменять лишь величину Т0, а слагаемое изменяться не будет в силу закона сохранения импульса. Так при взрыве летящего снаряда скорость движения центра масс получившихся осколков не изменится.

Задача 4.1. По горизонтальной поверхности с коэффициентом трения k скользит тело. Какое расстояние s пройдет тело до остановки, если его начальная скорость υ0?

Решение. Самый короткий путь решения этой задачи – использование соотношения между работой и приращением кинетической энергии.

Пусть в точке 1 тело имело скорость υ0, а в точке 2 оно остановилось. Тогда

В процессе движения на тело действуют три силы: тяжести – mg, нормальная компонента реакции поверхности N и трения Fтр. Работа первых двух сил равна нулю, так как каждая из них направлена перпендикулярно перемещению тела (рис. 4.1).

 

Рис. 4.1 

Работа силы трения равна:

Aтр= Fтр×s×cos p = – Fтр×s,

так как угол между силой трения и направлением движения тела равен p. Так как сила трения в данном случае – это сила трения скольжения, a N = mg, то работа силы трения оказывается равной

Aтр= – kmg×s.

В силу соотношения между работой и приращением кинетической энергии тела получаем

Атр=Т2 – Т1,

Как видим, расстояние, пройденное телом до остановки, пропорционально квадрату начальной скорости тела. Интересно также, что ответ не зависит от массы тела.

И, тем не менее, как в таком случае объяснить общеизвестный факт: при одной и той же начальной скорости тормозной путь груженного Камаза (масса около 30 тонн) существенно больше тормозного пути «Жигулей» (масса около одной тонны)?

Проанализируйте, какие из молчаливо принятых нами предположений, в данном случае не работают. Качество резины одинаковое на всех автомобилях.

Задача 4.2. Тело массы m брошено со скоростью u0 под углом a к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти мгновенную мощность P(t), развиваемую при полете тела силой тяжести, действующей на тело.

Задача 4.5. Через неподвижный невесомый блок перекинута замкнутая, тяжелая, нерастяжимая веревка массы М. В начальный момент времени за точку веревки, расположенную между блоком и нижним заворотом ее, цепляется обезьяна массы m и начинает карабкаться вверх по веревке так, чтобы удержаться на неизменной высоте (рис. 4.4). Какую мощность должна развивать обезьяна? Через сколько времени она перестанет справляться со своей затеей, если максимальная мощность, которую она может развивать, равняется Рmax?

Закон Ома для участка цепи:

,

где U – напряжение, R – сопротивление участка цепи, I – сила тока.

Закон Ома для замкнутой цепи:

,

где r – внутреннее сопротивление источника тока, R – внешнее сопротивление цепи, E – ЭДС. ЭДС источника тока численно равна работе перемещения единичного заряда по замкнутой цепи.

Движение материальной точки в стационарных потенциальных полях