Примеры решения задач по физике Кинематика материальной точки Законы Ньютона Работа Кинетическая энергия Закон сохранения энергии Момент импульса системы материальных точек Динамика твердого тела Силы инерции

Примеры решения задач контрольной по физике


КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Кинематика описывает движение тел, устанавливает характеристики движения, но причины, вызвавшие движение, ею не рассматриваются. Наиболее простой объект для описания – материальная точка, т.е. тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Наряду с термином "материальная точка" будем пользоваться также термином "частица".

Положение частицы в пространстве задается либо ее координатами, либо радиусом-вектором, проекции которого на координатные оси совпадают с координатами частицы (рис. 1.1):

Рис. 1.1

rx = х, rу= y, rz = z.

Сам же радиус-вектор r запишется тогда в виде:

r = x×ex + y×ey + z×ez,

где ex, ey, ez – направляющие единичные векторы (орты) координатных осей.

Для такого описания нужно каким-то образом задать систему координат, связанную с некоторым телом, т.е. систему отсчёта. Обычно задают декартову систему координат, хотя нередко используют и другие координатные системы. Выбор системы отсчёта ничем не ограничен, можно выбирать любую удобную систему отсчёта.

Если точка движется, то ее координаты x, y, z (или, что то же самое, ее радиус-вектор r) будут изменяться с течением времени. Если известна зависимость координат от времени t, т.е. заданы х, у, z (или r) как функции t:

x = x(t), y = y(t), z = z(t),

r = r(t),

то говорят, что задан закон движения.

Если в моменты времени t1 и t2 положение точки характеризовалось радиусами-векторами r(t1) и r(t2), то вектор

Dr = r(t1) – r(t2)

называется перемещением точки за время Dt = t1 – t2, вектор

vcp = Dr /Dt

называется вектором средней скорости за время Dt.

5. Скорость точки: , а ее проекции на оси координат:

6. Вектор скорости v направлен по касательной к траектории точки. Это иллюстрируется рис. 1.2, где изображена траектория точки и радиусы-векторы r(t1) и r(t2) в два момента времени t1 и t2. Там же изображены векторы скорости v(t1) и v(t2) в эти же моменты времени.

7. Ускорение точки a = dv/dt, его проекции на координатные оси:  

8. Вектор ускорения а можно представить в виде суммы двух векторов: а = an + at. Здесь at и аn – векторы тангенциального и нормального ускорений. Эти векторы определяются следующим образом:  υ=|v|.

В свою очередь, t и n – это векторы единичной длины. Направление вектора t совпадает с направлением вектора скорости v: v = υ×t, а вектор n перпендикулярен вектору скорости v и направлен в сторону, куда траектория вогнута (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Можно утверждать, что каждый бесконечно малый участок кривой можно рассматривать как дугу окружности. Радиус этой окружности R называется радиусом кривизны кривой в данной точке. Разумеется, в разных точках кривой эти радиусы могут быть различны. Физический смысл векторов at и ап следующий. Вектор at характеризует быстроту изменения модуля скорости, вектор же ап характеризует быстроту изменения направления скорости. Отметим еще, что at направлен в сторону движения, если dυ/dt>0, т.е. когда величина скорости растет (ускоренное движение), и, соответственно, он направлен в обратную сторону, когда dυ/dt < 0, т.е. величина скорости убывает (замедленное движение).

9. Как было отмечено выше, выбор системы отсчёта ничем не ограничен, можно выбирать любые системы отсчёта. Связь между значениями скоростей v и v' одной и той же материальной точки в двух различных си­стемах отсчета[1] K и K' даётся правилом сложения скоростей:

v' = v + V,

где V – скорость системы K относи­тельно K'.

Хотя правило сложения скоростей представ­ляется совершенно очевидным, однако, нужно иметь в виду, что оно основано на предпо­ложении об абсолютном течении времени. Именно, мы счи­таем, что интервал времени, за который частица смещается на величину ds в системе K, равен интервалу времени, за который частица смещается на соответствующую величину ds' в системе K'. Это предположение в действительности оказывается, стро­го говоря, неправильным, но следствия, вытекающие из неабсолютности времени, начинают проявляться только при очень больших скоростях, сравнимых со скоростью света. В частности, при таких скоростях уже не выполняет­ся правило сложения скоростей. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь достаточно малые скорости, когда предположение об абсолютности времени хорошо оправ­дывается.

Задача 1.1. Материальная точка движется вдоль оси ОХ по закону , где b – некоторая константа, а х – координата точки. Найти зависимость от времени скорости υx = υx(t), координату точки х как функцию времени x = x(t), ускорение точки ах. Учесть, что в момент времени t = 0 частица находилось в точке с координатой x = 0.

Решение. Так как по определению υx = dx/dt, то, учитывая условие задачи, получим уравнение

Интегрируя, получим: .

Константу С выбираем так, чтобы согласно начальному условию х = 0 при t = 0, получаем С = 0, откуда .

Найдем скорость υх(t): .

Ускорение: .

Таким образом: .

Как видим, движение является равноускоренным с нулевой начальной скоростью.

Задача 1.2. Материальная точка движется вдоль прямой по закону: x(t) = b×t×(c – t/2), где b и с некоторые положительные константы, t – время движения, x(t) – координата тела в момент t. Найти: скорость тела как функцию времени υx = υx(t), среднюю скорость тела за первые t секунд движения, ускорение и путь, пройденный телом за первые t секунд.

Задача 1.4. Зависимость координат частицы от времени имеет вид x = b×cos wt, y = b×sin wt (где b>0 и w>0 – константы). Найти радиус-вектор r(t), скорость v(t), ускорение a(t), а также их модули, скалярные произведения и объяснить полученный результат. Найти также траекторию частицы и направление ее движения по траектории.

Задача 1.6. Спортсмены бегут колонной длины L со скоростью υ. Навстречу колонне бежит тренер со скоростью u < υ. Каждый из спортсменов, поравнявшись с тренером, поворачивает назад и продолжает бежать с прежней скоростью υ. Какой будет длина колонны L' после того, как последний спортсмен поравняется с тренером?

Внутреннее сопротивление – это сопротивление участка цепи между полюсами источника тока.

Проводники в электрических цепях могут соединяться последовательно и параллельно.

При последовательном соединении проводников сила тока во всех проводниках одинакова. Общее напряжение в цепи равно сумме напряжений на ее отдельных участках:

Полное сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных проводников:

Движение материальной точки в стационарных потенциальных полях