Основные уравнения цепей с сосредоточенными параметрами
Цепи, содержащие источники энергии, резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы, могут быть представлены схемами замещения, состоящими из источников э.д.с., тока и элементов r, L, С. В схеме с сосредоточенными параметрами необратимые потери энергии происходят только в сопротивлениях, магнитное поле связано только с индуктивностями, ток смещения, обусловленный изменяющимся электрическим полем, имеет место только в емкостях.
Основные уравнения для цепей с сосредоточенными параметрами вытекают из известных физических законов — принципа непрерывности полного тока и закона электромагнитной индукции.
Из принципа непрерывности полного тока следует:
(1.12)
где ik — ток k-го проводника, присоединенного к рассматриваемому узлу.
Уравнение (1.12) называют первым законом Кирхгофа, который формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узле, равна нулю в любой момент времени. При этом с положительным (отрицательным) знаком учитывают токи, направленные от узла (к узлу).
Для узла на рис. 1.17 уравнение по первому закону Кирхгофа записывается следующим образом:
i1-i2+i3-i4=0.
Если в уравнении (1.12) токи источников тока перенести в правую часть, то получается
, (1.13)
где
— алгебраическая сумма токов источников тока;
— алгебраическая сумма токов других ветвей (элементов). В уравнении (1.13) с положительным (отрицательным) знаком записывают ток источника Jk, направленный к узлу (от узла), и ток ik, направленный от узла (к узлу).
Например, если ток i4 представляет собой ток источника тока, т. е. i4=J4 (рис. 1.17), то в соответствии с равенством (1.13)
i1-i2+i3=J4.
Из закона электромагнитной индукции следует:
(1.16)
Уравнение (1.16) называют вторым законом Кирхгофа, который формулируется следующим образом: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю в любой момент времени. При этом с положительным (отрицательным) знаком учитывают напряжения, положительные направления которых совпадают (противоположны) направлению обхода контура.
На рис. 1.18 показан пример контура цепи; путь интегрирования 1-а-2-3-б-4-1 содержит зажимы элементов. Для выбранного пути интеграл в равенстве (1.15) разбивается на четыре слагаемых:
-u1+u2-u3+u4=0,
где
u1=j2-j1; u2=j2-j3; u3=j4-j3; u4=j4-j1.
Если напряжения источников перенести в правую часть равенства (1.16) и заменить на э. д. с., то второму закону Кирхгофа соответствует уравнение
, (1.17)
которое выражает равенство алгебраических сумм напряжений на пассивных элементах и э. д. с. контура. В уравнении (1.17) с положительным (отрицательным) знаком записывают напряжения и э. д. с., направление которых совпадает (противоположно) с направлением обхода контура.
Например, для контура на рис. 1.18 по второму закону Кирхгофа записывают (выбирая направление обхода по часовой стрелке совпадающим с направлением э. д. с. e1)
u2-u3+u4=e1
Уравнения (1.12), (1.16) или (1.13) и (1.17) совместно с соотношениями (1.3), (1.4), (1.6), (1.7), (1.9), (1.10), связывающими напряжения и токи каждого элемента, дают полное математическое описание цепи.
Пример 1.1. Составить уравнения Кирхгофа для схемы на рис. 1.19.
Решение. Для узлов 1 и 2, по первому закону Кирхгофа,
-i1-i2+i3=J;
i1+i2-i3=-J.
Одно из записанных уравнений является зависимым.
Для контура е1 — r1 — С — L1 (при направлении обхода контура по часовой стрелке), по второму закону Кирхгофа,
.
Положительные направления напряжений на зажимах пассивных элементов приняты совпадающими с положительными направлениями токов и учтены выражения (1.3), (1.10), (1.6). Для контура С — r2 —е2 (направление обхода по часовой стрелке)
.
Для контура е1 — r1 — r2 — е2 — L1 (направление обхода по часовой стрелке)
.
Последнее уравнение, записанное по второму закону Кирхгофа, равно сумме двух предыдущих уравнений.
Таким образом, из пяти уравнений Кирхгофа для схемы на рис. 1.19 независимыми являются три уравнения (одно для какого-либо узла и два других для любых двух контуров схемы).
Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора, основанный на теореме об активном двухполюснике (называемой также теоремой Гельмгольца-Тевенена), позволяет достаточно просто определить ток в одной (представляющей интерес при анализе) ветви сложной линейной схемы, не находя токи в остальных ветвях. Применение данного метода особенно эффективно, когда требуется определить значения тока в некоторой ветви для различных значений сопротивления в этой ветви в то время, как в остальной схеме сопротивления, а также ЭДС и токи источников постоянны.
Теорема об активном двухполюснике формулируется следующим образом: если активную цепь, к которой присоединена некоторая ветвь, заменить источником с ЭДС, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и сопротивлением, равным входному сопротивлению активной цепи, то ток в этой ветви не изменится.
