Электротехника - Резонанс напряжений и токов Задача

ТОЭ Компьютерный монтаж Основы Flash Corel DRAW Учебник по схемотехнике Законы Кирхгофа P-CAD Autodesk Mechanical Desktop Электротехника Атомная физика Графический пакет OrCAD Теория множеств Оптическая физика Дифференциалы Интегралы Магнитные свойства Зонная теория Квантовая статистика Квантовая физика Магнитное поле Электростатика Геометрическая оптика Основы теории относительности Волновая функция Главную

Рассмотрим контур, состоящий из последовательно соединенных сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 1)

Рис. 1. Последовательный контур.

Входное сопротивление контура:

.

Комплексное действующее значение тока контура имеет вид:

,

отсюда получается действующее значение тока

.

Аналогичным образом получаются выражения для действующих значений напряжений на индуктивности (UL, UL) и на емкости (UC, UC).

;

.

Условием наступления резонанса напряжений является равенство нулю реактивной составляющей входного сопротивления контура:

.

При резонансе реактивные сопротивления индуктивности и емкости равны:

,

эта величина называется характеристическим сопротивлением контура.

Отношение характеристического сопротивления контура к его омическому сопротивлению называется добротностью контура:

.

Заметим, что при w=w0 отношение действующих значений напряжений на индуктивности и на емкости к действующему значению входного напряжения равно добротности:

.

Преобразуем выражение для действующего значения тока контура вынеся активное сопротивление R за знак радикала а характеристическое сопротивление r=w0L за скобки и учитывая определение Q:

.

Аналогичным образом получаем выражения для действующих значений напряжений на индуктивности и на емкости:

.

Введя относительную частоту w*=w/w0, преобразуем полученные формулы к следующему виду:

Найдем точки максимумов этих трех кривых.

Очевидно, что при резонансной частоте полное входное сопротивление контура (z=|Z|) минимально и равно активному сопротивлению, тогда действующее значение тока максимально и равно:

Чтобы найти точки максимумов кривых UL(w) и UC(w) необходимо продифференцировать их по частоте, например:

приравняв к нулю числитель полученной дроби, уравнение для частоты максимума для действующего значения напряжения на индуктивности:

,

таким образом, частота максимума действующего значения напряжения на индуктивности равна:

.

Аналогично, частота максимума действующего значения напряжения на емкости равна:

.

Отметим, что: wL>w0, wC<w0, wLwC=w02. Если Q<1/Ö2, то wL и wC - мнимые, т.е. кривые UL(w) и UC(w) не имеют максимумов.

Рассмотрим зависимость I(w) (рис. 2). Полосой пропускания называется частотный диапазон w1£w£w2, в котором выполняется условие:

.

Уравнение для границ полосы пропускания имеет вид:

.

Это - уравнение четвертого порядка, два корня которого являются границами полосы пропускания и имеют вид:

.

Легко видеть, что: w1w2=w02.

Рис. 2.

На рис. 2 представлены зависимости от нормированной частоты действующих значений (амплитуд): тока - сплошная линия, напряжения на емкости - штриховая линия, напряжения на индуктивности - пунктирная линия, а также разности фаз входного напряжения и тока (j=yu-yi) - штрих-пунктирная линия при добротности Q=2.

На рис. 3 представлены зависимости от нормированной частоты действующих значений (амплитуд) тока для различных значений добротности: при Q=0.5 - сплошная линия, при Q=1 - пунктирная линия, при Q=10 - штриховая линия. Из рисунка видно, что чем больше добротность, тем лучше избирательные свойства цепи: т.е. цепь лучше выделяет сигнал определенной частоты из суммы сигналов различных частот.

Рис. 3.


РЕЗОНАНС ТОКОВ

Рассмотрим параллельный контур (рис. 4).

Рис. 4

Вычислим входную проводимость схемы:

Резонанс наступает, когда реактивная часть входной проводимости становится равной нулю:

Вводя обозначения:

,

получим:

.

Резонанс возможен, если одновременно R1>r и R2>r или R1<r и R2<r, если R1<r, а R2>r или наоборот, то резонансная частота - мнимая, т.е. резонанс не наступает, если же R1=R2=r, то wР=0/0, т.е. резонанс наступает при любой частоте. Рассмотрим входное сопротивление контура:

Т.о. входное сопротивление контура равно r и от w не зависит.

На рис. 5, а, б показаны векторные диаграммы резонанса в идеальном (R1=R2=0) и реальном контурах. Если R1=R2=0, то активная входная проводимость равна нулю, резонансная частота wР=w0, токи индуктивности и емкости равны и противоположны по фазе, входной ток равен нулю.

а) идеальный контур

б) реальный контур

Рис. 5.

ПОНЯТИЕ О РЕЗОНАНСЕ В СЛОЖНЫХ ЦЕПЯХ

Условие резонанса b=0 или x=0 в разветвленной цепи с несколькими индуктивностями и емкостями дают для частоты w уравнения, которые могут иметь несколько действительных корней, т.е. у разветвленной цепи может быть несколько резонансных частот.

Пример.

Найдем входное сопротивление цепи, изображенной на рис. 6.

Рис. 6.

Если Z=0, наступает резонанс напряжений:

Входная проводимость этой цепи равна:

При Y=0 наступает резонанс токов:

.

Задача (4.88, Поливанов).

Для схемы рис. 7 даны L,C. При каком R входное сопротивление чисто активное на любой частоте?

Рис. 7.

Входное сопротивление равно:

Найдем величину R из условия равенства нулю мнимой части:

Т.о. получаем, что если активное сопротивление равно характеристическому, резонанс наступает на любой частоте.

Задача.

Найти L0, при котором фазы u и i совпадают. R=2 Ом, L=2 мГн, C=250 мкФ, w=2×103 с-1.

Рис. 8.

Входное сопротивление равно:

.

Чтобы фазы входного напряжения u и входного тока i совпадали, необходимо, чтобы реактивная составляющая входного сопротивления была равна нулю:

.

Резонанс токов наступает, если реактивная составляющая входной проводимости равна нулю:

,

отсюда:

.

Метод эквивалентного генератора, основанный на теореме об активном двухполюснике (называемой также теоремой Гельмгольца-Тевенена), позволяет достаточно просто определить ток в одной (представляющей интерес при анализе) ветви сложной линейной схемы, не находя токи в остальных ветвях. Применение данного метода особенно эффективно, когда требуется определить значения тока в некоторой ветви для различных значений сопротивления в этой ветви в то время, как в остальной схеме сопротивления, а также ЭДС и токи источников постоянны. Теорема об активном двухполюснике формулируется следующим образом: если активную цепь, к которой присоединена некоторая ветвь, заменить источником с ЭДС, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и сопротивлением, равным входному сопротивлению активной цепи, то ток в этой ветви не изменится.