Рассмотрим контур, состоящий из последовательно соединенных сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 1)
Рис. 1. Последовательный контур.
Входное сопротивление контура:
.
Комплексное действующее значение тока контура имеет вид:
,
отсюда получается действующее значение тока
.
Аналогичным образом получаются выражения для действующих значений напряжений на индуктивности (UL, UL) и на емкости (UC, UC).
;
.
Условием наступления резонанса напряжений является равенство нулю реактивной составляющей входного сопротивления контура:
.
При резонансе реактивные сопротивления индуктивности и емкости равны:
,
эта величина называется характеристическим сопротивлением контура.
Отношение характеристического сопротивления контура к его омическому сопротивлению называется добротностью контура:
.
Заметим, что при w=w0 отношение действующих значений напряжений на индуктивности и на емкости к действующему значению входного напряжения равно добротности:
.
Преобразуем выражение для действующего значения тока контура вынеся активное сопротивление R за знак радикала а характеристическое сопротивление r=w0L за скобки и учитывая определение Q:
.
Аналогичным образом получаем выражения для действующих значений напряжений на индуктивности и на емкости:
.
Введя относительную частоту w*=w/w0, преобразуем полученные формулы к следующему виду:
Найдем точки максимумов этих трех кривых.
Очевидно, что при резонансной частоте полное входное сопротивление контура (z=|Z|) минимально и равно активному сопротивлению, тогда действующее значение тока максимально и равно:
Чтобы найти точки максимумов кривых UL(w) и UC(w) необходимо продифференцировать их по частоте, например:
приравняв к нулю числитель полученной дроби, уравнение для частоты максимума для действующего значения напряжения на индуктивности:
,
таким образом, частота максимума действующего значения напряжения на индуктивности равна:
.
Аналогично, частота максимума действующего значения напряжения на емкости равна:
.
Отметим, что: wL>w0, wC<w0, wLwC=w02. Если Q<1/Ö2, то wL и wC - мнимые, т.е. кривые UL(w) и UC(w) не имеют максимумов.
Рассмотрим зависимость I(w) (рис. 2). Полосой пропускания называется частотный диапазон w1£w£w2, в котором выполняется условие:
.
Уравнение для границ полосы пропускания имеет вид:
.
Это - уравнение четвертого порядка, два корня которого являются границами полосы пропускания и имеют вид:
.
Легко видеть, что: w1w2=w02.
Рис. 2.
На рис. 2 представлены зависимости от нормированной частоты действующих значений (амплитуд): тока - сплошная линия, напряжения на емкости - штриховая линия, напряжения на индуктивности - пунктирная линия, а также разности фаз входного напряжения и тока (j=yu-yi) - штрих-пунктирная линия при добротности Q=2.
На рис. 3 представлены зависимости от нормированной частоты действующих значений (амплитуд) тока для различных значений добротности: при Q=0.5 - сплошная линия, при Q=1 - пунктирная линия, при Q=10 - штриховая линия. Из рисунка видно, что чем больше добротность, тем лучше избирательные свойства цепи: т.е. цепь лучше выделяет сигнал определенной частоты из суммы сигналов различных частот.
Рис. 3.
РЕЗОНАНС ТОКОВ
Рассмотрим параллельный контур (рис. 4).
Рис. 4
Вычислим входную проводимость схемы:
Резонанс наступает, когда реактивная часть входной проводимости становится равной нулю:
Вводя обозначения:
,
получим:
.
Резонанс возможен, если одновременно R1>r и R2>r или R1<r и R2<r, если R1<r, а R2>r или наоборот, то резонансная частота - мнимая, т.е. резонанс не наступает, если же R1=R2=r, то wР=0/0, т.е. резонанс наступает при любой частоте. Рассмотрим входное сопротивление контура:
Т.о. входное сопротивление контура равно r и от w не зависит.
На рис. 5, а, б показаны векторные диаграммы резонанса в идеальном (R1=R2=0) и реальном контурах. Если R1=R2=0, то активная входная проводимость равна нулю, резонансная частота wР=w0, токи индуктивности и емкости равны и противоположны по фазе, входной ток равен нулю.
а) идеальный контур
б) реальный контур
Рис. 5.
ПОНЯТИЕ О РЕЗОНАНСЕ В СЛОЖНЫХ ЦЕПЯХ
Условие резонанса b=0 или x=0 в разветвленной цепи с несколькими индуктивностями и емкостями дают для частоты w уравнения, которые могут иметь несколько действительных корней, т.е. у разветвленной цепи может быть несколько резонансных частот.
Пример.
Найдем входное сопротивление цепи, изображенной на рис. 6.
Рис. 6.
Если Z=0, наступает резонанс напряжений:
Входная проводимость этой цепи равна:
При Y=0 наступает резонанс токов:
.
Задача (4.88, Поливанов).
Для схемы рис. 7 даны L,C. При каком R входное сопротивление чисто активное на любой частоте?
Рис. 7.
Входное сопротивление равно:
Найдем величину R из условия равенства нулю мнимой части:
Т.о. получаем, что если активное сопротивление равно характеристическому, резонанс наступает на любой частоте.
Задача.
Найти L0, при котором фазы u и i совпадают. R=2 Ом, L=2 мГн, C=250 мкФ, w=2×103 с-1.
Рис. 8.
Входное сопротивление равно:
.
Чтобы фазы входного напряжения u и входного тока i совпадали, необходимо, чтобы реактивная составляющая входного сопротивления была равна нулю:
.
Резонанс токов наступает, если реактивная составляющая входной проводимости равна нулю:
,
отсюда:
.
Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора, основанный на теореме об активном двухполюснике (называемой также теоремой Гельмгольца-Тевенена), позволяет достаточно просто определить ток в одной (представляющей интерес при анализе) ветви сложной линейной схемы, не находя токи в остальных ветвях. Применение данного метода особенно эффективно, когда требуется определить значения тока в некоторой ветви для различных значений сопротивления в этой ветви в то время, как в остальной схеме сопротивления, а также ЭДС и токи источников постоянны.
Теорема об активном двухполюснике формулируется следующим образом: если активную цепь, к которой присоединена некоторая ветвь, заменить источником с ЭДС, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и сопротивлением, равным входному сопротивлению активной цепи, то ток в этой ветви не изменится.
