Основные свойства криволинейного интеграла Формула Грина Скалярное поле и его характеристики Двойной интеграл в полярных координатах Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Курс практики по математике Интеграл

В первом разделе содержатся задачи по темам: «Неопределенные и определенные интегралы», «Двойные интегралы», «Криволинейные интегралы I и II рода».

Раздел дифференциальных уравнений представлен линейными уравнениями I порядка, однородными уравнениями I порядка, уравнениями в полных дифференциалах, линейными дифференциальными уравнениями высших порядков с постоянными коэффициентами.

В третьем разделе рассматриваются числовые положительные и знакопеременные ряды, функциональные ряды, ряды Фурье.

Выбор задач по указанным темам определен программой курса высшей математики для 2 семестра СамГТУ.

Назначение работы – помощь студентам при подготовке к экзамену по высшей математике.

Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция F(t) в некоторой окрестности V(t0) имеет производные до (n+1)-го порядка включительно. Тогда справедлива формула Тейлора:

.  (8)

Обозначим t-t0=Δt, F(t)-F(t0)=ΔF(t0),

 F'(t0)(t-t0)=F'(t0)Δt=dF(t0),

 F''(t0)(t-t0)2=F''(t0)(Δt)2=d2F(t0) и т.д. Геометрический смысл теоремы Ролля Курс лекций по математике

Тогда (8) можно записать в виде

, где 0<θ<1. (9)

В виде (9) формула Тейлора распространяется и на случай функций нескольких переменных.

 Теорема. Пусть функция z=f(x;y), где х, у – независимые переменные, определена и имеет непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки М(х0;y0) Vδ(х0;y0). Тогда "Δх, Δу, удовлетворяющих условию , имеет место формула Тейлора:

, где 0<θ<1. (10)

Доказательство.

  Зафиксируем Δх, Δу: , где .

Тогда ММ0ÎVδ(х0;y0). Параметрические уравнения отрезка ММ0:

  (11)

Функция на [0;1] становится сложной функцией от переменной t:

f(x;y)=f(х0+tΔx;y0+tΔy)=F(t). (12)

По условию f(x;y) имеет непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно на Vδ(х0;y0). Функции х и у, как линейные, имеют непрерывные производные любого порядка. Поэтому F(t) имеет непрерывные производные до (n+1)-го порядка включительно на [0;1]. Тогда для F(t) на [0;1] справедлива формула Тейлора (9).Положим в ней t0=1, t0+Δt=1, Δt=1:

.  (13)

Перейдем здесь к f(x;y), используя (12).

ΔF(0)=F(1)-F(0)=f(х0+Δx;y0+Δy)-f(х0;y0)=Δf(х0;y0).

Форма первого дифференциала инвариантна. Тогда, учитывая (11) при вычислении dx и dy, получим

,

т.к. dt=Δt=1.

Поскольку х=х0+tΔx, y=y0+tΔy – линейные функции, то дифференциалы высших порядков от функции F(t)=f(x;y) обладают свойством инвариантности.. Следовательно, для их вычисления мы можем использовать простейшую форму:

.

Аналогично,  ,…, ,

 .

Подставляя все выражения в (13), получим (10).

 Формула Тейлора имеет большое значение при вычислении приращений и значений функции с большой степенью точности.

Неявные функции одной переменной

Пример. Вычислить производные первого и второго порядка функции, заданной неявно уравнением  (x>0).

Экстремум функции нескольких переменных Понятие экстремума, необходимое и достаточное условия

Задача 14. Вычислить

Решение. Для вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию – дробь – в сумму простейших дробей. Множителю соответствует сумма двух простейших дробей , а множителю  - дробь .

Тогда подынтегральная функция будет иметь вид

Правую часть равенства приведем к общему знаменателю (он должен быть равен знаменателю левой части равенства) и приравняем числители получившихся дробей:

.

Найдем А, В, С. Сначала применяем метод частных значений. Равенство должно выполняться при любых х, поэтому подставим вместо х «хорошие» числовые значения (обращающие часть скобок в 0). Здесь это 1 и -2. При  получим  и . При  равенство принимает вид , а . В найдем методом неопределенных коэффициентов, согласно которому приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства. Например, при . Тогда .

Итак, 

Вычисляем интеграл

Основные свойства неопределенного интеграла. 1. ( (f(x)dx)` = f(x). Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению. d( f(x)dx) = f(x)dx. 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого. d(F(x)) = F(x) + C. 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: , где к - число 5. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций
Геометрический смысл дифференциала