Основные свойства криволинейного интеграла Формула Грина Скалярное поле и его характеристики Двойной интеграл в полярных координатах Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Курс практики по математике Интеграл

Задача 1. Вычислить .

Решение. Интеграл можно свести к табличному (1), если сделать замену . Дифференцируя обе части равенства, получим , т.е. . Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Следовательно,

Формула Грина.

Рассмотрим интеграл 2-ого рода по замкнутому контуру L на плоскости

J = P(x,y) dx + Q(x,y) dy ( 18 )

Покажем, что интеграл  ( 8 ) можно свести к двойному интегралу по области D , ограниченной контуром L.  Во многих случаях такая замена может существенно упростить решение задачи.

Даны область D правильная в направлении оси Оу a < x <b , y1(x) < y < y2(x)  и функции P(x,y) , P(x,y) / y непрерывные в этой области. Вычислим двойной интеграл

J =  =  ( 19 ) Примеры решения типовых задач Найти циркуляцию векторного поля Курс практики по математике

Его внутренний интеграл Jв является интегралом от дифференциала и легко вычисляется

Jв =  =  = P(x,y2(x)) - P(x,y1(x))

В результате J распадается на сумму двух интегралов

J = P(x,y2(x)) dx - P(x,y1(x)) dx = P(x,y) dx - P(x,y) dx =

= - P(x,y) dx - P(x,y) dx

которые соответствуют криволинейному интегралу от функции P(x,y) вдоль кривых AB и MN. Значение этого интеграла вдоль прямых BM, NA  Pdx = Pdx = 0 , т.к. dx = 0 в этом случае.  Поэтому справедливо равенство

J = - Pdx - Pdx - Pdx - Pdx = - Pdx

т.е. двойной интеграл J ( 10 ) по области D равен криволинейному интегралу по замкнутому контуру, ограничивающему эту область. Направление обхода положительное.

 = - P(x,y)dx ( 20 ) 

Т.к. произвольную область  D всегда можно представить в виде суммы правильных областей, то равенство ( 12 ) справедливо для D произвольной конфигурации.

Для области D правильной в направлении оси Ох и функций Q(x,y) , Q/x непрерывных в D получается равенство аналогичное ( 20 )

 = Q(x,y)dx ( 21 )

Объединим ( 20 ) и ( 21 ) и получим  формулу Грина

P(x,y)dx + Q(x,y)dy =  ( 22 )

Пр. Вычислить интеграл  J = -x2y dx + xy2 dy , где L : x2 + y2 = R2 , с помощью формулы Грина. Решение.

 P = - x2y , P/y = - x2 ,

 Q = xy2 , Q/x = y2 , Q/x - P/y = y2 + x2

J = (y2 + x2) dxdy = {x = r cos  , y = r sin }  =  = 2R4/4

Вычисление площадей.

Пусть Q = x/2 , P = - y/2 , тогда Q/x = ½ , P/y - ½ 

 = dxdy = S(D)

 или площадь области D , ограниченная контуром L равна

S(D) = ½ x dy - y dx ( 23 )

Условие выполнения равенства  P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 сразу следует из ( 22 ):

Q/x = P/y

Устные экзаменационные вопросы

по теме: «Криволинейные интегралы»

Определение аддитивной величины;

Алгоритм метода интегральной суммы;

Общее опр. интегральной суммы;

Опр. криволинейного интеграла 1-ого рода. Решение какой задачи привело к его появлению;

Написать формулы для вычисления криволинейного интеграла 1-ого рода;

Перечислить основные свойства криволинейного интеграла 1-ого рода. Почему?;

Опр. криволинейного интеграла 2-ого рода;

Записать криволинейный интеграл 2-ого рода в общем виде;

Как влияет на криволинейный интеграл 2-ого рода изменение направления пути интегрирования. Почему ? ;

Написать формулы для вычисления криволинейного интеграла 2-ого рода;

Опр. векторного поля;

Механический смысл криволинейного интеграла 1-ого рода . Почему ?;

Перечислить условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования;

Написать и объяснить общую формулу для вычисления первообразной криволинейного интеграла;

Написать формулу Грина, объяснить ее смысл;

Написать формулу вычисления площади через криволинейный интеграл;

Задача о массе поверхности. Пусть на гладкой поверхности z = z(x,y) распределена масса с поверхностной плотностью = f(x,y,z). Найти массу всей поверхности.

Векторный анализ. Пусть некоторая линия L в пространстве задана векторным уравнением r = r(t) = = x(t) i + y(t) j + z(t) k , t1 < t < t2 .

Поверхностные интегралы 2 рода. Пусть через замкнутую поверхность проходит поток жидкости или тепла. Входящий и выходящий потоки дают взаимоисключающий результат и поэтому их надо различать. Различать их можно по знаку cos, где  - угол между нормальным вектором внешней стороны замкнутой поверхности и направляющим вектором потока.

Применение поверхностных интегралов. Так как поверхностные интегралы 1 и 2 рода сводятся к обычным двойным интегралам, то различные задачи, которые приводят к вычислению двойных интегралов, могут быть представлены через поверхностные интегралы. Рассмотрим несколько таких примеров.

Двойной интеграл в полярных координатах

 (35)

  

Ряды Фурье

Разложение в ряд Фурье функции , заданной на отрезке :

 , (36)

где 

. (37)

Окончание прил.1

Разложение в ряд Фурье по косинусам функции , заданной на отрезке :

; (38)

 . (39)

Разложение в ряд Фурье по синусам функции , заданной на отрезке

; (40)

 .  (41)

Понятие определенного интеграла. Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max ?хi, где i=1,2,…п Определение. Пусть предел интегральной суммы ? f(Ci)?xi при стремлении max ?хi к нулю существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a, в] на части и от выбора точек С1, С2, …, Сп. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у = f(х) на [а, в]
Геометрический смысл дифференциала