Курс практики по математике Интеграл

Задача 3. Вычислить .

Решение. Интеграл относится к группе интегралов: , , , где - многочлен степени п. Вычисление таких интегралов выполняется интегрированием по частям по формуле (17)

 Если за и принять многочлен , то в результате применения формулы (17) интеграл упростится (уменьшится степень многочлена).

Обозначим  Найдем

 Тогда

Геометрический смысл дифференциала

 Пусть функция z=f(x;y) дифференцируема в точке (х0;у0). Тогда в этой точке существует дифференциал , а график функции в точке (x0;y0;z0) имеет касательную плоскость, задаваемую уравнением (11).

Р0 – точка касания, Q – касательная плоскость, т. LÎQ, [P0L]ÎQ,  принадлежит поверхности z=f(x;y). P0K║М0М, М0 – проекция точки Р0 на хOу.

KP=MP–МК=MP–M0P0=z–z0=∆z.

∆z – приращение аппликаты на поверхности в точке Р0, соответствующее приращениям ∆x, ∆y абсциссы и ординаты. KL=ML–MK=ML–M0P0=ML–z0.(*) Из уравнения касательной плоскости ML=z0+dz. Отсюда dz=ML–z0. (**)

Из соотношений (*) и (**) следует, что KL=dz. Периодическая функция с периодом  2 определена как f(x) = x , . Разложить ее в ряд Фурье. Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле.

Следовательно, дифференциал функции в точке M0(x0,y0) численно равен приращению КL аппликаты точки Р0 на касательной плоскости, соответствующему приращению аргументов ∆x и ∆y.

§5. Дифференцирование сложной функции

1. Дифференцирование сложной функции

Пусть функция z=f(x;y) определена в области GÌ, а х и у сами являются функциями от переменной t: х=φ(t), у=ψ(t). Пусть t изменяется в промежутке  так, что (х;у)=(φ(t);ψ(t))ÎG. В этом случае функция

z=f(φ(t);ψ(t))=F(t)  (1)

является сложной функцией одной переменной t.

Теорема 1. Если  существуют производные ,  в точке t и существуют непрерывные частные производные ,  в соответствующей точке (х;у)=(φ(t);ψ(t)), то существует производная  от сложной функции (1), и она может быть вычислена по формуле:

.  (2)

Доказательство.

  Придадим переменной t приращение   тогда x и y получат соответствующие приращения и , а функция z=f(x;у) получит приращение . Так как z=f(x;у) в точке (x;y) имеет непрерывные частные производные, то по теореме 3 §4 она дифференцируема в этой точке. Следовательно, ее полное приращение может быть записано в следующем виде:

=, где ,.

Разделим равенство на :

.  (3)

Пусть . Так как функции х=φ(t) и у=ψ(t) дифференцируемы в точке t, то они непрерывны в этой точке. Тогда  при . Значит, и ,  при . Т.к. функции x и у по условию имеют производные  и  в точке t, то

, .

Это означает, что правая часть (3) имеет предел при :

.

Тогда существует предел и левой части (3) при : .

Переходя в (3) к пределу при , получим (2).

Частный случай: , то есть . Тогда

.

Пример 1. z(x,y)=, x=e, y=ln(1-t). Найти .

D z определена на , . z является функцией от t:

(*)  z(t)=, .

Вычислим   по формуле (2).

.

Но  можно найти и непосредственно из (*). D

Эффективность дифференцирования по формуле (2) проявляется в более сложных примерах.

Пример2. .

D .

Непосредственно отсюда вычислить  сложно.

…

(подставить вместо х и у выражения через t). D

Пример 3. .

D Пусть , тогда z=f(x,y), х=φ(t), у=ψ(t),

. D

Пусть теперь функция z=f(x,y) задана в некоторой области G а x и y являются функциями от переменных u и v:  . Причём u и v определены в такой области Н, что "(u,v)Н точка (х,у)=ÎG. Тогда z является сложной функцией от переменных u и v:

.  (4)

Теорема 2. Если существуют частные производные  на H и непрерывные частные производные  на области G, то существуют частные производные  от сложной функции (4) на H , которые могут быть вычислены по формулам:

(5)

. (6)

Доказательство.

  Пусть (u,v)Н. Зафиксируем v. Тогда (4) обращается в сложную функцию одной переменной u вида (1), к которой можно применить теорему 1. На основании этой теоремы

.

Аналогично, фиксируя u, получим сложную функцию одной переменной v:   к которой можно применить теорему 1, получим (6).

Пример 4. Найти частные производные сложной функции .

D Обозначим  - промежуточные переменные, x,y,z – независимые переменные.

,

,

. D

2. Инвариантность формы дифференциала

  I. Пусть z=f(x,y), где x, y – независимые переменные, определена в области G. Пусть на G функция f имеет непрерывные частные производные. Тогда она дифференцируема и её дифференциал

, (1)

где , т.е. dx, dy – произвольные числа не зависящие от x и y.

 II. Пусть теперь z является сложной функцией от переменных u и v, т.е. z=f(x,y), , . Независимые переменные u и v определены в области Н так, что . Тогда . Пусть на Н существуют непрерывные частные производные  и на G - непрерывные частные производные  и  тогда существуют непрерывные частные производные  и  от сложной функции z=h(u,v):

,  (2)

. (3)

Тогда сложная функция z=h(u,v) дифференцируема и её дифференциал

,  (4)

du, dv – произвольные числа.

Подставляя (2) и (3) в (4), получим

.

Итак, , (5)

dx – дифференциал функции , ,

dy - дифференциал функции , .

 Сравнив (1) и (5), можем сделать вывод. Дифференциал функции f имеет одну и ту же форму относительно x и y: , как в случае, когда x и y - независимые переменные, так и в случае, когда x и y – функции от других переменных. Это свойство называется инвариантностью формы полного дифференциала. Хотя форма (1) инвариантна (т.е. неизменна), но смысл символов dx и dy не один и тот же. Если x и y - независимые переменные, то dx и dy – числа, не зависящие от x, y. Если же x и y – функции, то dx и dy – дифференциалы этих функций.

 Итак, так как форма (1) инвариантна, то полный дифференциал функции всегда может быть записан в виде (1).

 Замечание. Если x и y – независимые переменные, то существуют две формы записи дифференциала: . Если x и y функции, то .

Выражение дифференциала через частные производные

Производная по направлению. Градиент

Производные и дифференциалы высших порядков Частные производные высших порядков Пусть функция z =f(x,y) задана на области G. Пусть на G существуют частные производные  и . Они называются частными производными первого порядка функции f .

Дифференциалы высших порядков