Задача 3. Вычислить .
Решение. Интеграл относится к группе интегралов: ,
,
, где
- многочлен степени п. Вычисление таких
интегралов выполняется интегрированием по частям по формуле (17)
Если за и принять многочлен , то в результате применения формулы (17)
интеграл упростится (уменьшится степень многочлена).
Обозначим Найдем
Тогда
Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается f(x)dx, где - знак интеграла, f(x) - подинтегральная функция, f(x)dx - подинтегральное выражение. Таким образом f(x)dx = F(x) + C, F(x) - некоторая первообразная для f(x), С - произвольная постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функцииГеометрический смысл дифференциала
Пусть функция z=f(x;y) дифференцируема в точке (х0;у0). Тогда в этой точке существует дифференциал
, а график функции в точке (x0;y0;z0) имеет касательную плоскость, задаваемую уравнением (11).
Р0 – точка касания, Q – касательная плоскость, т. LÎQ, [P0L]ÎQ,
принадлежит поверхности z=f(x;y). P0K║М0М, М0 – проекция точки Р0 на хOу.
KP=MP–МК=MP–M0P0=z–z0=∆z.
∆z – приращение аппликаты на поверхности в точке Р0, соответствующее приращениям ∆x, ∆y абсциссы и ординаты. KL=ML–MK=ML–M0P0=ML–z0.(*) Из уравнения касательной плоскости ML=z0+dz. Отсюда dz=ML–z0. (**)
Из соотношений (*) и (**) следует, что KL=dz. Периодическая функция с периодом 2 определена как f(x) = x , . Разложить ее в ряд Фурье. Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле.
Следовательно, дифференциал функции в точке M0(x0,y0) численно равен приращению КL аппликаты точки Р0 на касательной плоскости, соответствующему приращению аргументов ∆x и ∆y.
§5. Дифференцирование сложной функции
1. Дифференцирование сложной функции
Пусть функция z=f(x;y) определена в области GÌ
, а х и у сами являются функциями от переменной t: х=φ(t), у=ψ(t). Пусть t изменяется в промежутке
так, что (х;у)=(φ(t);ψ(t))ÎG. В этом случае функция
z=f(φ(t);ψ(t))=F(t) (1)
является сложной функцией одной переменной t.
Теорема 1. Если существуют производные
,
в точке t
и существуют непрерывные частные производные
,
в соответствующей точке (х;у)=(φ(t);ψ(t)), то существует производная
от сложной функции (1), и она может быть вычислена по формуле:
. (2)
Доказательство.
Придадим переменной t приращение
тогда x и y получат соответствующие приращения
и
, а функция z=f(x;у) получит приращение
. Так как z=f(x;у) в точке (x;y) имеет непрерывные частные производные, то по теореме 3 §4 она дифференцируема в этой точке. Следовательно, ее полное приращение может быть записано в следующем виде:
=
, где
,
.
Разделим равенство на
:
. (3)
Пусть
. Так как функции х=φ(t) и у=ψ(t) дифференцируемы в точке t, то они непрерывны в этой точке. Тогда
при
. Значит, и
,
при
. Т.к. функции x и у по условию имеют производные
и
в точке t, то
,
.
Это означает, что правая часть (3) имеет предел при
:
.
Тогда существует предел и левой части (3) при
:
.
Переходя в (3) к пределу при
, получим (2).
Частный случай:
, то есть
. Тогда
.
Пример 1. z(x,y)=
, x=e
, y=ln(1-t). Найти
.
D z определена на
,
. z является функцией от t:
(*) z(t)=
,
.
Вычислим
по формуле (2).
.
Но
можно найти и непосредственно из (*). D
Эффективность дифференцирования по формуле (2) проявляется в более сложных примерах.
Пример2.
.
D
.
Непосредственно отсюда вычислить
сложно.
…
(подставить вместо х и у выражения через t). D
Пример 3.
.
D Пусть
, тогда z=f(x,y), х=φ(t), у=ψ(t),
. D
Пусть теперь функция z=f(x,y) задана в некоторой области G а x и y являются функциями от переменных u и v:
![]()
. Причём u и v определены в такой области Н, что "(u,v)
Н точка (х,у)=
ÎG. Тогда z является сложной функцией от переменных u и v:
. (4)
Теорема 2. Если существуют частные производные
на H и непрерывные частные производные
на области G, то существуют частные производные
от сложной функции (4) на H , которые могут быть вычислены по формулам:
(5)
. (6)
Доказательство.
Пусть (u,v)
Н. Зафиксируем v. Тогда (4) обращается в сложную функцию одной переменной u вида (1), к которой можно применить теорему 1. На основании этой теоремы
.
Аналогично, фиксируя u, получим сложную функцию одной переменной v:
к которой можно применить теорему 1, получим (6).
Пример 4. Найти частные производные сложной функции
.
D Обозначим
- промежуточные переменные, x,y,z – независимые переменные.
,
,
. D
2. Инвариантность формы дифференциала
I. Пусть z=f(x,y), где x, y – независимые переменные, определена в области G. Пусть на G функция f имеет непрерывные частные производные. Тогда она дифференцируема и её дифференциал
, (1)
где
, т.е. dx, dy – произвольные числа не зависящие от x и y.
II. Пусть теперь z является сложной функцией от переменных u и v, т.е. z=f(x,y),
,
. Независимые переменные u и v определены в области Н так, что
. Тогда
. Пусть на Н существуют непрерывные частные производные
и на G - непрерывные частные производные
и
тогда существуют непрерывные частные производные
и
от сложной функции z=h(u,v):
, (2)
. (3)
Тогда сложная функция z=h(u,v) дифференцируема и её дифференциал
, (4)
du, dv – произвольные числа.
Подставляя (2) и (3) в (4), получим
.
Итак,
, (5)
dx – дифференциал функции
,
,
dy - дифференциал функции
,
.
Сравнив (1) и (5), можем сделать вывод. Дифференциал функции f имеет одну и ту же форму относительно x и y:
, как в случае, когда x и y - независимые переменные, так и в случае, когда x и y – функции от других переменных. Это свойство называется инвариантностью формы полного дифференциала. Хотя форма (1) инвариантна (т.е. неизменна), но смысл символов dx и dy не один и тот же. Если x и y - независимые переменные, то dx и dy – числа, не зависящие от x, y. Если же x и y – функции, то dx и dy – дифференциалы этих функций.
Итак, так как форма (1) инвариантна, то полный дифференциал функции всегда может быть записан в виде (1).
Замечание. Если x и y – независимые переменные, то существуют две формы записи дифференциала:
. Если x и y функции, то
.
Выражение дифференциала через частные производные
Производная по направлению. Градиент
Производные и дифференциалы высших порядков Частные производные высших порядков Пусть функция z =f(x,y) задана на области G. Пусть на G существуют частные производные
и
. Они называются частными производными первого порядка функции f .
Геометрический смысл дифференциала |