Основные свойства криволинейного интеграла Формула Грина Скалярное поле и его характеристики Двойной интеграл в полярных координатах Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Курс практики по математике Интеграл

Задача 8. Вычислить .

Решение. Применяя тригонометрическую формулу (23)

,

получим

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Метрические пространства. Пространство

Раньше изучались функции одной переменной f(x), которые были определены на . Рассмотрим некоторые свойства множеств, на которых задаются функции нескольких переменных.

Множество {x,y}, состоящее из двух элементов, называется парой. Пара, как и любое множество, определяется своими элементами. Упорядоченная пара (x,y) определяется еще и порядком следования элементов, т.е. . Аналогично определяется упорядоченная тройка, четверка и т.д. Упорядоченный набор из n элементов обозначается .

Декартовым (прямым) произведением множеств  называется множество, содержащее все упорядоченные наборы , где , т.е.

.

Если , то   называется числовой плоскостью. Каждой упорядоченной паре чисел (x,y) соответствует на плоскости, где введена декартова система координат, точка М(x,y), и наоборот, каждой точке на плоскости соответствует пара (x,y). Поэтому точка на плоскости отождествляется с упорядоченной парой.

Прямое произведение  называется числовым трехмерным пространством.

  - n-мерное пространство .

Упорядоченный набор  называется точкой пространства , число  - i-й координатой этой точки.

Обозначается , М.

В пространстве  определяется сложение элементов, умножение элемента на действительное число. Пусть , :

1) ;

2) .

Пусть Е – непустое множество.

Определение. Метрикой (расстоянием) на множестве Е называется неотрицательная функция r=r(х,у)³0, определенная "х,уÎЕ и удовлетворяющая следующим условиям (аксиомам метрики):

r(х,у)=0 Û х=у (аксиома тождества);

r(х,у)=r(у,х) (аксиома симметрии);

r(х,y)£r(х,z)+r(z,y) "zÎЕ (аксиома треугольника).

Определение. Множество Е с введенной на нем метрикой r называется метрическим пространством и обозначается (Е,r).

Т. о., метрическим пространством называется пара, состоящая из множества Е и метрики r на Е. Элементы метрического пространства Е называются его точками.

В пространстве  метрика определяется следующим образом:

,  (1)

где  и .

  - метрическое пространство, n-мерное евклидово пространство (можно задать другую метрику  и получить  - другое метрическое пространство).

В случае n=1, т.е. в , ; в случае n=2, т.е. в , .

 Покажем, что расстояние в , определяемое формулой (1), удовлетворяет всем аксиомам метрики.

1)Û.

2) r(х,у)=r(у,х), т.к. .

3) Пусть . Покажем, что

.  (2)

Докажем вначале, что  имеют место неравенства:

  - неравенство Коши-Буняковского (3)

  - неравенство Минковского (4)

Доказательство (3).

  Рассмотрим квадратный трехчлен относительно :

 

.

Извлекая из обеих частей квадратный корень, получим (3).

Доказательство (4).

  (4) следует из (3). Рассмотрим

.

Извлекая корень из обеих частей, получим (4).

Полагая в неравенстве Минковского a=x-z, b=z-y, получим (2), т.е. аксиома 3 для r(х,у) выполнена.

Пусть  - фиксированная точка, .

Определение 1. n-мерным открытым шаром  в пространстве  называется множество всех точек , удовлетворяющих неравенству : .

Фиксированная точка a называется центром шара, число - радиусом шара.

При n=1, .

При n=2,  - открытый круг с центром в точке а(а1,а2), радиусом e.

При n=3,   - обычный шар (без ограничивающей его сферы ) в трехмерном пространстве.

Определение 2. Замкнутый шар в  - .

Определение 3. Окрестностью точки  называется любой открытый шар, содержащий эту точку.

Обозначается .

  - проколотая окрестность точки а.

Пусть задано множество .

Определение 4. Точка a называется внутренней точкой множества Е, если существует окрестность точки а, целиком лежащая во множестве Е: .

Совокупность всех внутренних точек множества Е называется внутренностью множества Е. Обозначается int E.

Например, .

Определение 5. Точка  называется внешней точкой множества Е, если , не содержащая ни одной точки множества Е.

Определение 6. Точка  называется граничной точкой множества Е, если в любой окрестности точки а имеются как точки принадлежащие Е, так и точки не принадлежащие Е.

Граничная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству.

Определение 7. Точка  называется предельной точкой множества Е, если в любой окрестности точки а содержится хотя бы одна точка множества Е, отличная от а.

Определение 8. Точка называется изолированной точкой множества Е, если она не является предельной точкой множества Е.

У изолированной точки а множества Е , не содержащая ни одной точки множества Е.

Пример. .

Внутренние точки (1;3),

внешние точки ,

граничные точки {1;3;7},

предельные точки [1;3],

изолированная точка {7}.

Теорема 1. Точка а - предельная точка множества Е тогда и только тогда, когда в любой окрестности точки а содержится бесконечно много точек множества Е.

Определение 9. Множество Е называется открытым, если все его точки являются внутренними.

Определение 10. Множество Е называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Примеры.  1) (а;b),  - открытые множества,

2) [a;b],  - замкнутые множества,

  - открытые множества.

Определение 11. Множество  называется дополнением множества Е.

Теорема 2. Если множество Е открыто, то СЕ – замкнуто, если множество Е замкнуто, то СЕ – открыто.

Определение 12. Множество Е называется ограниченным, если существует замкнутый шар, содержащий в себе множество Е: .

Теорема 3. Множество Е ограничено.

Определение 13. Непрерывной кривой L в пространстве , соединяющей точки  и  называется множество , где функции  непрерывны на [a;b], .

Определение 14. Множество Е называется связным (линейно связным), если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве.

Определение 15. Множество  называется областью, если оно открыто и связно.

Понятие функции нескольких переменных

Предел и непрерывность функции двух переменных Понятие предела функции двух переменных

Повторные пределы Для функций нескольких переменных наряду с обычным понятием предела функции (при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам) вводится понятие повторного предела, получаемого в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности в том или ином порядке. (Обычный предел функции n переменных называется n-кратным: двойным, тройным и т.д.)

Пример. Найти точки разрыва функции .

Пример. Найти полное приращение функции z=x2-xy+y2 в точке (х0,у0).

Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой - определенное вещественное число. Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ? x ? в, называется отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х удовлетворяют неравенству а
Геометрический смысл дифференциала