Основные свойства криволинейного интеграла Формула Грина Скалярное поле и его характеристики Двойной интеграл в полярных координатах Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Курс практики по математике Интеграл

Задача 7. Вычислить .

Решение. Это интеграл вида  с чётными m и n (в данном случае ). Воспользуемся формулой (19) понижения степени

,

получим

Условия существования двойного интеграла

Нижняя и верхняя суммы Дарбу

Как и в одномерном случае, при изучении двойного интеграла существенную роль играют суммы Дарбу.

Пусть функция z= f(x;y) ограничена на области Р. Пусть Т – произвольное разбиение области Р на части Pk ,  . Тогда f(x;y) будет ограничена на всех Pk. Следовательно, существуют нижние и верхние грани функции f на Pk. Обозначим , .

"(x;y)ÎPk справедливо неравенство , . Cоставим суммы

- нижняя, - верхняя суммы Дарбу.

 и  зависят только от разбиения Т (не зависят от выбора точек , как S(T)).

Свойства сумм Дарбу

1) Для любого фиксированного разбиения Т справедливо

.

2) , .

3) Если к линиям разбиения добавить новую линию, то получим разбиение T1, которое называется продолжением разбиения T. От этого нижняя сумма может только возрасти, а верхняя - уменьшиться.

.

4) Для любых разбиений Т1 и Т2 справедливо .

(Доказательство свойств 1)–4) аналогично доказательствам тех же свойств сумм Дарбу для случая одной переменной, только вместо точек деления надо брать линии).

5) Рассмотрим два числовых множества . Множество  ограничено сверху любым числом из множества  (по свойству4), тогда . Значит, выполнено . Из последнего неравенства следует, что множество  ограничено снизу,  – нижняя граница. Следовательно,  и  выполнено  ( - наибольшая нижняя граница ). Очевидно, . Тогда  выполнено .

2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости

Теорема 2. Для того чтобы ограниченная функция z=f(x;y) была интегрируема на замкнутой квадрируемой области Р необходимо и достаточно, чтобы

. (1)

Доказательство.

 1) Необходимость. Пусть функция f интегрируема на Р. Докажем (1).

Так как f интегрируема на Р, то . Это по определению означает, что "e>0 $d>0: "Т: l<d,  выполнено

. (2)

(2) Û I-e<S(T)<I+e.

Т.к. "Т , , то

. (3)

Тогда .

Т.е. для выбранного e>0 $d>0: "Т: l<d выполнено . По определению предела это значит, что выполнено (1).

2) Достаточность. Пусть f ограничена на Р и выполнено (1). Докажем, что f интегрируема на Р. "e>0 $d>0: "Т: l<d Þ

. (4)

По свойству 5) сумм Дарбу "Т:

. (5)

Из (4) и (5) Þ . Это означает, что .

Тогда . (6)

Согласно свойству 1) сумм Дарбу

. (7)

Тогда из (4), (6), (7) получим

,

,

. Значит, по определению f(x;y) интегрируема на Р.

 Замечание. Отметим, что из (3) следует

,

,

т.е. при доказательстве необходимости мы установили, что если f интегрируема на P, то

.

3. Интегрируемость непрерывной функции

Теорема 3. Если функция z=f(x;y) непрерывна на замкнутой квадрируемой области Р, то она интегрируема на этой области.

Доказательство.

 Пусть Т – произвольное разбиение области Р на части Pk . Т.к. z=f(x;y) непрерывна на замкнутой области Р, то f ограничена на Р и, значит, ограничена на . Следовательно, можно построить .

, (8)

где  - соответственно верхние и нижние грани функции f(x;y) на области Pk. Т.к. f(x;y) непрерывна на замкнутой области Рk, то она достигает верхней и нижней граней , т.е.

.

Подставим в (8):

. (9)

Т.к. функция f непрерывна на замкнутой области P, то она равномерно непрерывна на этой области (теорема Кантора), т.е по определению

 (10)

выполнено . (11)

Пусть -произвольное число. Выберем разбиение Т так, чтобы l<d=d(e). Тогда . Значит, для точек  выполнено (10). Следовательно, для значений функции в них выполнено (11):

. (12)

Из (9) и (12) следует

.

Т.о., "T: l<d выполнено . По определению это значит, что . Тогда согласно теореме 2 f интегрируема на P.

Теорема 4. Если ограниченная на P функция f имеет точки разрыва лишь на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида y=f(x) или х=j(у), то она интегрируема на P, и при этом значения функции в точках разрыва не влияют на значения двойного интеграла.

Основные свойства двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием Повторные интегралы I случай. Прямоугольная область.

Вычисление двойного интеграла

Замена переменных в двойном интеграле

Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, или lim f(x) = f(a). Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены. 4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю).
Геометрический смысл дифференциала