Основные свойства криволинейного интеграла Формула Грина Скалярное поле и его характеристики Двойной интеграл в полярных координатах Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Курс практики по математике Интеграл

Задача 7. Вычислить .

Решение. Это интеграл вида  с чётными m и n (в данном случае ). Воспользуемся формулой (19) понижения степени

,

получим

Уравнения математической физики

Дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция u = u(x1, . . . ,xn) зависит от нескольких аргументов наз. дифференциальным уравнением в частных производных (ДУЧП)

F(x1, . . . ,xn , u , u/x1 , . . ., u/xn , . . . , u/x1k, . . . , u/xnk, . . . ) = 0

Порядком ДУЧП наз. порядок старшей производной. Любая функция, которая обращает уравнение в верное тождество наз. решением уравнения. Уравнения, в которые производные и неизвестная функция входят в первой степени, наз. линейными. При описании реальных процессов аргументами часто служат координаты x, y, z, время t и наиболее востребованными оказываются линейные ДУЧП второго порядка, которые наз. уравнениями математической физики (УМФ).

Если общее решение обыкновенного дифференциального уравнения  (ОДУ) n –ого порядка для функции одной переменной включает n констант, то ДУЧП включает n произвольных функций.

Пр. Простейшее уравнение . Его решение  включает произвольную функцию ,т.к. х в частной производной по у есть константа.

УМФ с постоянными коэффициентами в случае двух переменных имеет общий вид

  a11 + 2a12 + a22 + b1 + b2 + cu = F(x,y) ( 1 )

где a11, a12, a22 , b1 , b2 , c – константы, F(x,y) – задана, u(x,y) – искомая функция. При F(x,y) = 0 уравнение наз. однородным. Если однородное линейное ОДУ n – ого порядка имеет n линейно независимых решений, то ДУЧП ( 1 ) имеет бесконечное множество линейно независимых решений. В решения может входить переменный параметр: u(x,y,) или (x,y). Если  только целые числа n, то решениями могут быть также бесконечные, сходящиеся в некоторой области D, ряды , где Сn константы. Их можно дважды почленно дифференцировать и интегрировать.

Три основных уравнения математической физики :

 Название

 Уравнение

Начальные условия

 Граничные условия

 а

 Волновое

 уравнение 

 

  для u(x,t)

 = a2

 a - const

u(x,t) – амплитуда

колебаний струны

  0£ x £ l, t > 0

lim u(x,t) = g(x)

lim = h(x)

 при t

lim u(x,t) = m1(t)

lim u(x,t) = m2(t)

при xи x® l - 0

- закон движения концов струны

 б

 Уравнение теплопроводности уравнение Фурье

 = a2

 a - const

lim u(x,t) = u0(x)

 при t

 0

lim u(x,t) = T1(t)

lim u(x,t) = T2(t)

при xи x

в

 Уравнение

 Лапласа

 для u(x,t) в области D c границей L

+= 0

 Нет

 Краевая задача : в

 каждой точке М  границы L задано значение функции

 u(M)|L =

Классификация УМФ.

Путем перехода к новым переменным в уравнении ( 1 ) можно исключить некоторые производные 2 порядка. Возникают три варианта упрощенных (канонических) уравнений в зависимости от знака дискриминанта характеристического уравнения

a112 + 2a12 + a22 = 0 ( 2 )

1) D = a122- a11 a22 > 0 Гиперболический тип уравнения. Приводится к виду

  + b1* + b2*+ c*u = F(p,q) или - + b1* + b2*+ c*u = F(p,q)

2) D = 0 Параболический тип уравнения. Приводится к виду

 + b1* + b2* = F(p,q)

3) D < 0 Эллиптический тип уравнения. Приводится к виду

 + + b1* + b2*+ c*u = F(p,q)

Начальные и граничные условия обеспечивают единственность решения и они имеют разную структуру для уравнений разных типов. Различают три вида задач для этих уравнений :

задача Коши, для уравнений гиперболического и параболического типов – задаются начальные условия, граничные отсутствуют, область определения уравнения и его решения – вся плоскость;

краевая граничная задача, для уравнений эллиптического типа - задаются граничные условия на границе L = , области определения неизвестной функции, начальные условия отсутствуют;

смешанная задача, для уравнений гиперболического и параболического типов -задаются начальные и граничные условия.

Задача Коши для волнового уравнения в свободном пространстве.

 = a2 , t > 0 , xR , u(x,t)|t=+0 = (x) , |t=+0 = (x)

Характеристическое уравнение 2 = a2 приводит к новым переменным p = x –at, q = x +at,

уравнению  и общему решению u(p,q) = F1(p) + F2(q) = F1(x – at) +  F2(x + at), 

где F1(p) и F2(q) - произвольные функции. С учетом начальных условий имеем решение задачи Коши в общем случае (метод Даламбера):

u(x,t)  = ½ [j(x - at) + j(x + at)] + 1/2a [  +  ] =

= ½ [j(x - at) + j(x + at)] + 1/2a  ( 3 )

 

 Смешанная задача для уравнения колебания струны.

Колебания струны конечной длины l с закрепленными концами описывает волновое уравнение  = a2  , где а - const , 0 , t > 0 , при следующих граничных u(0,t) = 0 , u(l,t) = 0 и начальных условиях u(x,0) = f(x) , .

Задача решается методом Фурье – разделение переменных  u(x,t) = X(x) T(t) сводит каждое из основных уравнений матфизики к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям. Общее решение уравнения имеет вид ряда Фурье

u(x,t)  =  sin (p n / l) x [ Cn cos (ap n / l) t + Dn sin (ap n / l) t ] , ( 4 )

где коэффициенты определяются начальными условиями

Cn =  ; Dn =  ( 5 )

Смешанная задача для уравнения теплопроводности.

Пусть u(x,t)– функция распределения температуры вдоль стержня длины l в момент времени t. Процесс передачи тепла вдоль стержня описывает уравнение  = a2

где а - const, 0, t > 0. На концах стержня температура всегда 0: u(0,t) = 0, u(l,t) = 0, 

а в начальный момент распределение температуры: u(x,0) = f(x), f(0) = f(l) = 0 

Задача также решается методом Фурье u(x,t) = X(x) T(t) и общее решение имеет вид ряда Фурье u(x,0) = Bn sin (p n / l) x = f(x) , ( 6 )

где коэффициенты определяются начальными условиями Bn = ( 7 )

Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, или lim f(x) = f(a). Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены. 4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю).
Геометрический смысл дифференциала