Основные свойства криволинейного интеграла Формула Грина Скалярное поле и его характеристики Двойной интеграл в полярных координатах Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Курс практики по математике Интеграл

Задача 7. Вычислить .

Решение. Это интеграл вида  с чётными m и n (в данном случае ). Воспользуемся формулой (19) понижения степени

,

получим

Скалярное поле

Опр. Скалярным полем (с.п.) наз. совокупность двух множеств: множества точек пространства M и множества чисел соответствующих этим точкам, которые определяются функцией U(M). Функция U(M) наз. функцией поля.

Точки поля с одинаковыми значениями функции образуют линии уровня на плоскости U(M) = U(x,y) =C и поверхности уровня в пространстве U(M) = U(x,y,z) = C. 

Опр. Производной скалярного поля U(x,y,z) в точке M(x,y,z) по направлению  = {cos, cos, cos}, наз. предел отношения приращения функции к пройденному пути по направлению  , который приводит к формуле

U/ = (U/x) cos  + (U/y) cos  + (U/z) cos ( 9 )

Пример 3. Вычислить производную с.п. U(M) = x2y – x z3 + 1 в точке М(1;-2;1) в направлении  = 2i – 4j + k .

 Решение.*U/x|M = (2xy – z3)|M = - 5,U/y|M = x2|M = 1,U/z|M = -3xz2|M = -3,

|| = , cos = x/|| = 2/ , cos = y/|| = -4/, cosz/|| = 1/,

*U/ = -5 2/ + 1 (-4)/   -3 1/ = -17/

Ответ: В окрестности точки М  в направлении вектора а функция U(M) изменяется в 17/ раз быстрее, чем аргумент, и при этом уменьшается.

Градиентом скалярного поля U(x,y,z)

наз. вектор grad U = i + j + k ( 10 )

который определяет направление наибольшего изменения с.п. в точке М и его модуль равен скорости этого изменения. Вектор grad U является нормальным вектором к поверхности уровня U(x,y,z) = C , проходящей через точку М .

Производная с.п. по направлению равна скалярному произведению градиента поля и вектора направления, т.е. является проекцией градиента на выбранное направление

U/ = grad U  = |grad U|l ( 11 )

Пример 4.Дано с.п.U(M) = xy2 + z2. Найти наибольшее значение U/в т.M(2;1;-1)

Решение: grad U|M = (y2 i + 2xy j + 2z k )|M = i + 4j – 2k, 

U/|наиб = |grad U|M = =

Задачи для самостоятельного решения

Найти grad u и  в направлении  :

1) = - i + 4 j + 2 k, если u = sin2(2yz – 3x); 2) = 2i + 4 j - 5 k, если u = ctg2(2x2 – 9yz)

3) = i + 3 j + 2 k, если u = ln tg (2xy – z); 4) = -2i + 4 j + k, если u = ln sin (yx + 9z2)

Векторные поля

Опр. Векторным полем (в.п.) наз. совокупность двух множеств: множество точек пространства М и множество векторов, каждый из которых соотнесен к определенной  точке. Вектора определяются векторной функцией  = (M) = (x,y,z) = () , которая наз. функцией векторного поля.

В координатной форме (M) = P(x,y,z) i +Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k. Компоненты P, Q, R образуют три скалярных поля и однозначно определяют  () - векторную функцию от векторного аргумента.

Опр. Векторными линиями поля наз. кривые, касательные к которым в каждой точке М совпадают с  (M).

При перемещении из точки  М вдоль векторной линии дифференциал радиус-вектора точки  т.е. , будет определять направление касательной и, следовательно, будет коллинеарен вектору F(M). Условие коллинеарности двух

векторов  = (M) приводит к трем равенствам для координат и после исключения  к системе двух дифференциальных уравнений

  ( 12 )

решение которых и определит уравнения векторных линий.

Пример 5. Найти векторные линии в.п. (M) = x i – y j – 2 k .

  {  ;  }

Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными дает :

1 уравнение : ln x = - ln y + ln C1  ln(xy) = ln C1  xy = C1 – гиперболический цилиндр

2 уравнение : ln y = ½ lnz + ln C2  ln y2/z = ln C2  y2 = zC2 – параболический цилиндр

Векторными линиями являются линии пересечения этих поверхностей. Для каждой точки М существует свой набор констант С1, С2 .

Поток векторного поля через поверхность.

Пусть даны в.п. (M) = {P, Q, R} и двухсторонняя ориентированная поверхность G с нормальным вектором (M) = { }. Выберем на G бесконечно малую площадку S. Считаем, что во всех ее точках векторы ,  имеют постоянное значение. Тогда скалярное произведение этих векторов и площади S наз. потоком вектора  через бесконечно малую площадку.

*П = () S = || cos(^) S = ||nS ( 13 ) 

Пусть  - векторное поле скоростей потока жидкости. Тогда *П это объем жидкости, протекающей через S за единицу времени в направлении внешней нормали к S, т.к. ||n - высота бруса жидкости, S - его основание. Если угол между векторами тупой и cos(^) < 0, то направления нормали и потока жидкости противоположны.

Запишем поток в координатной форме *П = ()S, тогда S, S, S - проекции площадки на координатные плоскости yOz, xOz, xOy, а сам поток распадается на три составляющих потока направленных вдоль координатных осей.

Сумма по малым площадкам на G приводит к интегральной сумме П(m)=Пi, предел которой при  m совпадает с поверхностным интегралом 2-ого рода ( 7 )

ПG  =  =  ( 14 )

Опр. Потоком векторного поля (M) через произвольную поверхность G наз. поверхностный интеграл 1 рода от скалярного произведения вектора поля и нормального вектора поверхности или поверхностный интеграл 2-ого рода.

Если поток жидкости проходит через замкнутую поверхность, то входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности.

Гидродинамический смысл поверхностного интеграла 2 рода - разность между количествами жидкости вошедшими и вышедшими из замкнутой поверхности в единицу

времени.

В общем случае поток векторного поля  по замкнутой поверхности G можно отнести к единице объема - ПG / V , где V – объем ограниченный G , затем перейти к пределу V  0 и определить мощность потока из отдельной точки. Это позволяет сделать формула Остроградского – Гаусса

 ( 15 )

которая заменяет интеграл по внешней стороне поверхности ограничивающей тело на интеграл по объему этого тела.

Опр. Дивергенцией (расходимостью) векторного поля (M) в точке М наз. предел отношения потока по замкнутой поверхности G к объему ограниченному этой поверхностью при стягивании замкнутой поверхности G в точку М

 = div (M) ( 16 )

Знак div определяет наличие источника (+) или стока (-) в точке М, а сама дивергенция их «мощность». Дивергенция вычисляется для всех точек векторного поля и образуют скалярное поле. Теорема о среднем для тройного интеграла в ( 15 ), ( 16 ) приводит к формуле

div (M) = P’x(M) + Q’y(M) + R’z(M) ( 17 )

т.е. дивергенция равна сумме частных производных от компонент векторного поля по соответствующим  координатам.

Теперь формулу Остроградского – Гаусса можно переписать в векторной форме

  ( 18 )

т.е. интеграл от дивергенции векторного поля по объему равен потоку вектора через поверхность, ограничивающую данный объем. Сумма «мощностей» всех точечных «источников» и «стоков» дает общий результат, т.е. поток поля через поверхность.

Пример. Записать формулы Остроградского-Гаусса в векторной и координатной форме для векторного поля (M) = { -yz; -xz; yz}.

Пример. Найти циркуляцию векторного поля = yi – x j + z k вдоль окружности x = r cos t , y = r sin t , z = 1 в положительном направлении, т.е. 0 < t < 2

Уравнения математической физики Дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция u = u(x1, . . . ,xn) зависит от нескольких аргументов наз. дифференциальным уравнением в частных производных (ДУЧП)

Пример решения расчетного задания Задание 1. Найти общее решение уравнения u``xx - 2u``xy + u``yy + 2u`x - 2u`y = 0, приведя его к каноническому виду (Метод Даламбера).

Интегральное исчисление функций нескольких переменных

Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, или lim f(x) = f(a). Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены. 4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю).
Геометрический смысл дифференциала