Основные свойства криволинейного интеграла Формула Грина Скалярное поле и его характеристики Двойной интеграл в полярных координатах Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Курс практики по математике Интеграл

Задача 2. Вычислить .

Решение. Сведем данный интеграл к табличному (3), сделав замену переменной . Тогда  Изменяем пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Получаем

Найти форму струны, определяемой уравнением  = a2

в момент t = p/2a  , если u|t = 0 = sin x , |t = 0 = 1.

Решение. Имеем u(x,t) = ½ [ sin (x + at) + sin (x – at) ] + 1/2a  = sin x cos at + t 

Если t = p/2a , то u(x) = / 2a , т.е. струна параллельна оси абсцисс.

Вывод уравнения колебаний струны.

Пусть свободно изгибающаяся струна имеет силу натяжения на концах - T0, r - линейная плотность струны [ г/см ] , u(x,t) – амплитуда отклонения от оси Ох , F(x,t) – линейная плотность силы, действующая на струну ^  Ох [н/см ] .

Выделим малый элемент струны ММ`. На его концы действует сила натяжения T0 в направлении касательных. Составляющие этих сил, ^ оси Ох, равны T0 sina и

-T0 sina`. При их сумма есть сила, вызывающая

смещение элемента T0 sina - T0 sina`  = F dx ( 14 )

Под её воздействием изменение амплитуды отклонения во времени происходит по закону Ньютона r dx = F dx (15 )

здесь r dx - масса элемента. При малых a, a`имеем sin a  » tg a  = . Это скорость изменения амплитуды при перемещении вдоль струны, а сила отклонения равна приращению этой скорости  F dx = T0(sina - sina`) = T0[ ()M` - ()M ] 

Заменим приращение скорости на дифференциал и получим F dx  T0 d() = T0dx.

Кроме силы инерции F на струну может действовать внешняя сила fВ, тогда из ( 18 ) имеем

r  = T0  + fВ или  = a2  + f ( 16 )

где a2 = T0/ r , f = fВ/r . Это уравнение вынужденных поперечных колебаний струны.

При f = 0 получаем уравнение свободных колебаний струны

 = a2  ( 17 )

Метод Фурье.

Суть метода – разделение переменных u(x,y) = X(x) Y(y) сводит каждое из основных уравнений матфизики к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Смешанная задача для уравнения колебания струны.

Колебания струны конечной длины l с закрепленными концами описывает волновое уравнение ( 20 ) , где а - const , 0 , t > 0 , при следующих граничных и начальных условиях

u(0,t) = 0 , u(l,t) = 0 ( 18 )

u(x,0) = f(x) ,  ( 19 )

Пусть амплитуда смещения точек струны u(x,t) = X(x)T(t) , тогда из ( 20 ) имеем

X(x)T``(t) = a2X``(x)T(t) или T``(t) / a2T(t) = X``(x) / X(x) ( 20 )

Из равенства разнотипных функций следует, что каждая из них равна некоторой константе ( - h ). Пусть h > 0 , тогда из  ( 20 ) получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

X``(x) + hX(x) = 0 ( 21 )

T``(t) + ha2T(t)  = 0 ( 22 )

Их характеристические уравнения k2 + h = 0 и r2 + ha2 = 0 имеют мнимые корни 

k1,2 = ± i , r1,2 = ± i a и приводят к общим решениям

X(x) = A cosx + B sinx , T(t) = C cos at  + D sin at ( 23 )

Определим константы А, В из условия жесткого закрепления концов струны ( 18 )

X(0) = A cos 0 + B sin 0 = 0 Þ A = 0

X(l) = A cos l + B sin l = 0 Þ т.к. B ¹ 0 , то sin l = 0 ( 24 )

Отсюда следует, что произвольный параметр  h может принимать только строго определенные значения  = p n / l , где n = 0, 1, 2, 3, . . . и существует бесконечная последовательность частных решений

un(x,t) = sin (p n / l) x [ Cn cos (ap n / l) t + Dn sin (ap n / l) t ] ( 25 )

которые определяют синусоидальные стоячие волны. В каждой точке х амплитуда постоянна и n точек имеют нулевую амплитуду.

Любая сумма частных решений ( 25 ) также является решением  уравнения ( 17 ) в силу его линейности и однородности. Просуммируем бесконечную последовательность решений ( 25 )

u(x,t) =  sin (p n / l) x [ Cn cos (ap n / l) t + Dn sin (ap n / l) t ] ( 26 )

Тригонометрический ряд ( 26 ) определяет реальную физическую величину и поэтому наложим на него условие сходимости. Тогда начальные условия ( 19 ) на u(x,t) принимают вид рядов Фурье

u(x,0) = Cn sin (p n / l) x = f(x) ;

  Dn (a p n / l) sin (p n / l) x = g(x) ( 27 )

Если для функций f(x) и g(x) выполняются условия разложения в ряд Фурье, то

 коэффициенты разложения определяются формулой

Cn =  ; Dn =  ( 28 )

Отметим, что выбор h < 0 в уравнении ( 21 ) приводит к решению X(x) = =A+B, которое не может удовлетворить условию ( 18 ). 

Решение  ( 29 ) , ( 31 ) представляет сумму гармонических стоячих волн, возбужденных заданными начальными условиями. Число n в решении определяет число узлов колеблющейся струны, в которых она остается неподвижной. Допустимы только такие колебания, когда на струне укладывается целое число полуволн. Это есть правило квантования из которого выросла атомная физика. Движение электрона вокруг ядра по орбите длины l есть волновой процесс и допустимы только волны с длиной l  = l/n.

Пр. Струне, закрепленной на концах x = 0 , x = l , в начальный момент придали форму параболы u(x, 0) = (4h/l2) x ( l – x ), где h – смещение в центре, и отпустили. Определить закон смещения точек струны во времени, если не было начальных скоростей.

Решение. Здесь граничные условия ( 18 ) и начальные условия 

 u(x, 0) = (4h/l2) x ( l – x ) = f(x) ;  0 ( 19` ) Коэффициенты Dn = 0, Cn =  =  и решение ( 26 ) принимает вид u(x,t) = .

Вывод уравнения теплопроводности. Рассмотрим некоторое неравномерно нагретое тело. Распределение температуры задает скалярное поле T(M). Точки тела с одинаковой температурой образуют изотермические поверхности T(x,y,z) = C. Передача тепла идет от одной поверхности к соседней и направление движения тепла в каждой точке М задает нормаль к её изотермической поверхности T(x,y,z) = C, т.е. grad T. Количество передаваемого тепла пропорционально скорости изменения температуры от слоя к слою, т.е. |grad T|.

Распространение электрических возмущений вдоль линии электропередач. Колебательный контур это модель с сосредоточенными параметрами L, C, R. Его описывают обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами В длинных проводах электропередач эти параметры рассредоточены и нужен другой метод описания.

Элементы теории поля Площадь гладкой поверхности. Гладкую поверхность G описывает уравнение z = f(x,y). Она имеет верхнюю, нижнюю стороны и границы.

Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона - Лейбница. Понятие интегральной суммы. Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х0, х1, х2, …, хп = в. На каждом элементарном отрезке [xi-1, xi] выберем произвольную точку Сi и положим ?хi = xi - xi-1, где i = 1,2,…,п, в каждой точке Сi найдем значение функции f(Ci), составим произведения f(C1)?x1, f(C2)?x2, …, f(Ci)?xi, …, f(Cn)?xn, рассмотрим сумму этих произведений:
Геометрический смысл дифференциала