Основные свойства криволинейного интеграла Формула Грина Скалярное поле и его характеристики Двойной интеграл в полярных координатах Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Курс практики по математике Интеграл

Задача 1. Вычислить .

Решение. Интеграл можно свести к табличному (1), если сделать замену . Дифференцируя обе части равенства, получим , т.е. . Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Следовательно,

Основные свойства криволинейного интеграла 1 рода

Обычный определенный интеграл есть частный случай криволинейного интеграла, когда в качестве L берется отрезок оси Ох. Поэтому свойства интегралов аналогичны.

10 Постоянный множитель выносится из под знака интеграла

с f(x,y) ds = с f(x,y) ds 

 т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

 20 Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

[f1(x,y)+f2(x,y)] ds =  f1(x,y) ds + f2(x,y) ds 

 т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части. 

30 Если контур интегрирования разбит на две части L1 и L2, то

f(x,y) ds = f(x,y) ds + f(x,y) ds 

40 Интеграл не зависит от направления пути интегрирования , т.к. s может только возрастать при удалении от точки отсчета.

 f(x,y) ds =  f(x,y) ds

50 Если f(x,y) = 1 , то интеграл равен длине дуги :  ds = L

Пр.1 xy ds , где L контур треугольника с вершинами A(-1;0) , B(1;0) , C(0;1) проходим в положительном направлении.

 Общий вид уравнения прямой, проходящей через две произвольные точки (x1,y1), (x2,y2) : (x – x1) / (x2 – x1) = (y – y1) / (y2 – y1) .

AB : y = 0 , y` = 0 , = 1 , xy ds = x 0 dх = 0

BC : y = 1 – x , y`= –1, =xy ds = x(1-x) dx = - /6

CA : y =1 + x , y` = 1 , =xy ds = x(1+x) dx= /6

Замкнутый контур интегрирования обозначается значком . В Пр.1 xy ds = 0.

Криволинейный интеграл 2 рода.

Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является проекция длины кривой на ось Оx или Оу или Oz .

J = lim f(Mi) xi  f(x,y,z) dx ; J = lim f(Mi) yi  f(x,y,z) dy

J = lim f(Mi) zi  f(x,y,z) dz ( 6 ) 

Интеграл 2-ого рода получается из интеграла 1-ого рода простой заменой ds на dx, dy, dz .

В конкретных задачах при прохождении контура L часто возникает необходимость вычислять интегралы по всем трем проекциям, причем, от разных функций. Поэтому в общем случае криволинейный интеграл 2-ого рода записывается в виде

J = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz  Pdx + Qdy + Rdz

Дополнительная особенность : интеграл 2-ого рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования

Pdx + Qdy + Rdz = - Pdx + Qdy + Rdz ( 7 )

Действительно, если x1 < x2 , то при движении x1x2 имеем x = x2 – x1 > 0 , а в случае x2x1 x = x1 – x2 < 0 , т.е. знак проекции участка кривой на ось меняется.

Криволинейные интегралы 1-ого рода. Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью (M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода. Кривая L задана через произвольный параметр t : x =(t), y = (t), z = (t), t1tt2 . Тогда, dx = `dt , dy = `dt , dz = `dt  и имеем для плоской кривой

Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t –sin t, y = 1 – cos t, o £ t £ p Решение:  Координаты центра тяжести однородной дуги кривой L вычисляются по формулам : xc =  , yc =  , где s – длина дуги. 

Задача 25. Найти коэффициенты  разложения в ряд Фурье по синусам функции

.

Решение. Коэффициенты  разложения функции в ряд Фурье по синусам определяются по формуле (41):

Тогда

Так как , получим

Дифференциальные уравнения

Задача 26. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки  где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение  получим

 или 

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Понятие определенного интеграла. Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max ?хi, где i=1,2,…п Определение. Пусть предел интегральной суммы ? f(Ci)?xi при стремлении max ?хi к нулю существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a, в] на части и от выбора точек С1, С2, …, Сп. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у = f(х) на [а, в]
Геометрический смысл дифференциала