Основные свойства криволинейного интеграла Формула Грина Скалярное поле и его характеристики Двойной интеграл в полярных координатах Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Курс практики по математике Интеграл

Задача 2. Вычислить .

Решение. Сведем данный интеграл к табличному (3), сделав замену переменной . Тогда  Изменяем пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Получаем

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.

Алгоритм разложения: 1) Составляем для функции f(x) ряд Тейлора ; 2) Находим интервал сходимости этого ряда ; 3) Проверка условия lim Rn(x) = 0 при n

Разложение f(x) = ex 1) f ’(x) = ex, . . . , f(n)(x) = ex, f(0) = f ‘(0) = f(n)(0) = 1

 S(x) =  2) R = lim | an/an+1| = lim (n+1) =  ряд сходится при хR и,

n  n

следовательно, выполняется необходимое условие сходимости ряда lim un = lim xn/n! = 0

n  n

3) lim Rn(x) = lim exp() xn+1/(n+1)! = exp() lim xn+1/(n+1)! = 0 , где (0,x)

 n  n  n

Итог:  функция ех на интервале (- , ) является суммой ряда

ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + . . . + xn/n! + . . . =  ( 15 )

Разложение f(x) = sin x 1) f ’(x) = cos x = sin (x + ) , f ‘’(x) = sin (x + 2), . . . , f(n)(x) = sin (x + n), . . . ; f(0) =0, f ‘(0) = 1, f ‘’(0) = 0, f ‘’’(0) = -1, f ‘’’’(0) = 0,

и далее цикл 0, 1, 0, -1 повторяется при каждом обходе круга  

S(x) = x – x3/3! + x5/5! – x7/7! + . . .

2) R = lim | an/an+1| = lim (2n+1)!/(2n-1)! = lim 2n(2n+1) =   на интервале (- , )

 n  n  n   ряд сходится абсолютно

3) lim Rn(x) = lim [ sin(+ (2n+1) )] x2n+1/(2n+1)! = A lim x2n+1/(2n+1)! = 0 (|A|<1)

  n  n  n

Итог:  нечетная функция sin x на интервале (- , ) является суммой ряда

sin x = x – x3/3! + x5/5! – x7/7! + . . . =  ( 16 )

Разложение f(x) = cos x Воспользуемся формулой cos x = (sin x)’ и почленно продифференцируем разложение sin x

cos x = 1 – x2/2! + x4/4! - . . . =  ( 17 )

Разложение f(x) = (1 + x)m , mR (биноминальное разложение)

1) f ’(x) = m (1-x)m-1, f ’’(x) = m(m-1) (1-x)m-2, . . . , f(n) (x) = m(m-1) . . . (m-n+1) (1-x)m-n, f(0) = 1, f ‘(0) = m, f ‘’(0) = m(m-1), . . . , f(n) = m(m-1) . . . (m-n+1)  

S(x) = 1 + m x + m(m-1)/2! x2 + m(m-1)(m-2)/3! x3 + . . .

Если m натуральное число, то ряд превращается в многочлен степени m, т.к. все остальные коэффициенты ряда содержат множитель (m – m)

2) R = lim | an/an+1| = lim (m(m-1) . . . (m-n+1)/n!) : (m(m-1) . . . (m-n)/(n+1)! ) = 1

 n  n

3) Детальный анализ остаточного члена дает lim Rn(x) = 0 при n

Итог : на интервале (-1, 1) функция (1 + x)m является суммой ряда

(1 + x)m = 1+ m x + m(m-1)/2! x2 + m(m-1)(m-2)/3! x3 + . . =   ( 18 )

Если m натуральное число, то (1 + x)m = = Cnnxn Это формула бинома Ньютона, а Cnm = m!/n!(m-n)! – число сочетаний из m элементов по n .

Рассмотрим ряд  (18 ) при m = -1, тогда [m(m-1) . . (m-n+1)/n!] = (-1)n-1 n!/n! = (-1)n-1

1/( 1+x ) = 1 – x + x2 – x3 + . . . ;

1/( 1+x2 ) = 1 – x2 + x4 - . . . ;

1/( 1- x ) = 1 + x + x2 + x3 + . .

Разложение f(x) = ln(1 + x) Используем интегральную формулу

ln(1+x) =dx 1/(1 + x) =dx (1 – x + x2 – x3 + . . . ) = x – x2/2 + x3/3 - . . . +(-1)nxn+1/n+1

На интервале (-1, 1) ряд сходится абсолютно ; при х = -1 расходится как гармонический ряд ; при х = 1 условно сходится, как знакочередующийся ряд

Разложение f(x) = arctg x Используем интегральную формулу

arctg x = dx 1/(1+x2) =dx (1 – x2 + x4 - . . . ) = x – x3/3 + x5/5 - . . . + (-1)n x2n+1/2n+1

На интервале (-1, 1) ряд сходится абсолютно , при х = -1 и х = 1 условно сходится, как знакочередующийся ряд.

Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

Вычисление значений функций.

Пусть  f(x) является суммой ряда Тейлора ( 13 ). Необходимо с погрешностью  определить значение функции в точке х1 из области сходимости ряда (x0 – R, x0 + R). Для этого определим номер n при котором значение остаточного члена |Rn(x1)| равно указанной погрешности  и вычислим значение соответствующего многочлена Тейлора  Sn(x1)

Пр. Вычислить число е с точностью до 0,001


В разложении  ( 14 ) положим х = 1 : е = 1 + 1 + 1/2! + . . . + 1/n! + . . .

Согласно  ( 13 ) Rn(1) = exp()/ (n+1)! , а exp() < exp(1) < 3 , т.е. = Rn(1)< 3/(n+1)!

При n = 5 имеем < 3/6! = 1/240 > 0.001 , а при n = 6  < 3/7! = 1/1680 < 0.001

Поэтому е = 2 + ½! + 1/3! + ¼! + 1/5! + 1/6! = 2.7181 с точностью до 0,001.

Вычисление интегралов.

Подынтегральную функцию представляют в виде ряда Тейлора и почленно интегрируют.

Пр. Вычислить J = dx( sin x /x) с точностью 0,001

J = dx 1/x (x – x3/3! + x5/5! – . .) = ( x – x3/3!3 + x5/5!5 - . .) |0.50 = 1/2 –1/ 233!3 + ½55!5 - . .

Имеем 1/ 233!3 = 1/144 > 0.001 , ½55!5 = 1/19200 < 0.001 . Ряд знакочередующийся и по признаку Лейбница погрешность  не превосходит модуля первого из отброшенных членов, т.е. точность 0,001 обеспечивают два первых члена ряда J = 1 + 1/144 =  0.4931

Решение дифференциальных уравнений. Решаем задачу Коши для диф. уравнения 2-ого порядка : y’’ = f(x,y,y’) , причем, y(x0) = y0 , y’(x0) = y’0

Периодическая функция с периодом 2 определена как f(x) = x , . Разложить ее в ряд Фурье. Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле.

Разложение в ряд Фурье непериодических функций. В ряд Фурье можно разлагать не только периодические функции, но и любые ограниченные функции, определенные на конечном участке числовой оси, если вне этого участка поведение функции нас не интересует.  Если участок оси симметричен [-l, l] , то используется разложение ( 26 ), ( 27 ). Если функция f(x) задана на сегменте [0, l], то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее в сегменте [-l, 0] произвольным образом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной в сегменте [-l, l]. Наиболее удобно доопределять функцию условием четности f(-x) = f(x) или нечетности f(-x) = -f(x). В этом случае используются разложение только по синусам или только по косинусам в формулах 

Уравнения математической физики

Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона - Лейбница. Понятие интегральной суммы. Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х0, х1, х2, …, хп = в. На каждом элементарном отрезке [xi-1, xi] выберем произвольную точку Сi и положим ?хi = xi - xi-1, где i = 1,2,…,п, в каждой точке Сi найдем значение функции f(Ci), составим произведения f(C1)?x1, f(C2)?x2, …, f(Ci)?xi, …, f(Cn)?xn, рассмотрим сумму этих произведений:
Геометрический смысл дифференциала