Основные свойства криволинейного интеграла Формула Грина Скалярное поле и его характеристики Двойной интеграл в полярных координатах Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Курс практики по математике Интеграл

Задача 1. Вычислить .

Решение. Интеграл можно свести к табличному (1), если сделать замену . Дифференцируя обе части равенства, получим , т.е. . Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Следовательно,

Скалярное поле и его характеристики.

Рассмотрим функцию U(M), зависящую от координат точки М расположенной на плоскости (МD) или в пространстве (М).

Опр. Скалярным полем (с.п.) наз. совокупность двух множеств: множества точек пространства M и множества чисел соответствующих этим точкам, которые определяются функцией U(M). Функция U(M) наз. функцией поля.

Пр. Распределение температуры в данном теле.

Если М DR2, то поле наз. плоским, если МR3 - пространственнным. Поле наз. стационарным, если U(M) не зависит от времени. Точки поля с одинаковыми значенияи функции образуют линии уровня на плоскости U(M) = U(x,y) = C и поверхности уровня  в пространстве U(M) = U(x,y,z) = C Числовая последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность x1, х2, …, хn = {xn}

Пр. U(x,y) = , D: x2 + y2 1, x2+y2 = 1 + C2 – уравнение линии уровня.

Пр. U(x,y,z) = x2 + y2 – z , D = R3 , x2+y2 = z + C – уравнение поверхностей уровня, семейство параболоидов вращения вокруг Oz.

Производная по направлению с.п.

Имеем с.п. функции U(x,y,z) и выделенную в пространстве точку M(x,y,z), через которую проходит прямая L в направлении, заданном единичным вектором l = {cos , cos , cos}. Определим как будет меняться значение с.п. при перемещении вдоль L от M(x,y,z) к произвольной точке M1(x,y,z).

Опр. Производной с.п.  U(x,y,z) в точке M(x,y,z) по направлению l наз. предел отношения приращения функции к пройденному пути по направлению l

lim [U(M1) – U(M_] / |MM1| = U / l ( 22 )

 M M1

Теорема. Если функция с.п.U(x,y,z) дифференцируема в и l = {cos , cos , cos}, то

U/l = (U/x) cos  + (U/y) cos  + (U/z) cos ( 23 )

Док-во. Отрезок |MM1| =  есть диагональ прямоугольного паралепипеда со сторонами  x, y, z. Он равен = . Координаты точки М1 можно записать в виде M1(x+x, y+y, z+z) = M1(x + cos , y + cos , z + cos).

По определению приращение дифференцируемой функции нескольких переменных можно представить в виде

+=+

где lim  = 0 при 0. Перейдем к этому пределу в ( 22 ) U/l = lim

и получим формулу ( 23 ).

Пр. Вычислить производную с.п. U(M) = x2y – x z3 + 1 в точке М(1;-2;1) в направлении  a = 2i – 4j + k .

*U/x|M = (2xy – z3)|M = - 5 , U/y|M = x2|M = 1 , U/z|M = -3xz2|M = -3,

|a| = *U/a = -5 2/ + 1 (-4)/   -3 1/ = -17/

Ответ: В окрестности точки М в направлении вектора а функция U(M) изменяется в 17/ раз быстрее, чем аргумент, и при этом уменьшается.

Градиент скалярного поля.

Структура выражения ( 23 ) совпадает со структурой скалярного произведения двух векторов a и b : a b = axbx + ayby + azbz , если величины *U/x, *U/y, *U/z понимать как координаты некоторого вектора. Этот вектор наз. градиентом скалярного поля U(M)

grad U = i + j + k ( 24 )

Он упрощает запись производной с.п. по направлению и является важнейшей характеристикой скалярного поля

U/l = grad U l ( 25 )

Опр. Производная с.п. по направлению равна скалярному произведению градиента поля на вектор направления, т.е. является проекцией градиента на выбранное направление.

Определим угол  между векторами grad U и l

cos =  =   U/l = |grad U| cos

Повернем вектор l в сторону вектора grad U . При их совпадении, когда  = 0 и cos = 1, U/l принимает наибольшее значение.

Опр. Вектор grad U определяет направление наибольшего изменения с.п. в точке М и его модуль равен скорости этого изменения.

Опр. grad U является нормальным вектором к поверхности уровня U(x,y,z) = C , проходящей через точку М .

  Это следует из общего уравнения касательной плоскости к поверхности U(x,y,z) = =C в точке M0(x0, y0, z0)

(U/x)|M (x – x0) + (U/y)|M (y – y0) + (U/z)|M(z – z0) = 0 

где нормальный вектор касательной плоскости определен в виде N = {,,} , т.е. совпадает с вектором grad U

Пр. Дано с.п. U(M) = xy2 + z2. Найти наибольшее значение U/l в точке M(2;1;-1)

Решение:

 grad U = y2 i + 2xy j +2z k , grad U|M = i + 4j – 2k , U/l|наиб = |grad U|M = ==

Для обозначения grad U также применяется дифференциальный оператор. Он наз. оператором Гамильтона или набла-опрератором

i + j + grad U = U

Векторные поля и их характеристики. Опр. Векторным полем (в.п.) наз. совокупность двух множеств: множество точек пространства М и множество векторов, каждый из которых соотнесен к определенной точке. Вектора определяются векторной функцией F = F(M) = F(x,y,z) = F( r) , которая наз. функцией векторного поля.

Ротор (вихрь) векторного поля. Опр. Циркуляцией векторного поля. F(M) = {P, Q, R}  вдоль замкнутой кривой L наз. криволинейный интеграл от скалярного произведения вектора поля и дифференциала радиус-вектора перемещающегося вдоль кривой Ц L =   =  

Числовые  ряды. Сложную функцию f(x) часто представляют как линейную комбинацию нескольких простых функций f(x) @ Pn(x). Это упрощает ее исследование. Чем больше простейших функций используется в Pn(x) , тем точнее приближение. При бесконечном росте числа слагаемых (n ® ¥) графики f(x) и ее апраксимации Pn(x) могут совпасть полностью.

Функциональный ряд. Опр. Функциональным наз. ряд члены которого являются функциями от х .

Понятие определенного интеграла. Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max ?хi, где i=1,2,…п Определение. Пусть предел интегральной суммы ? f(Ci)?xi при стремлении max ?хi к нулю существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a, в] на части и от выбора точек С1, С2, …, Сп. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у = f(х) на [а, в]
Геометрический смысл дифференциала